שאלות לדוגמה הדנות בקומפוזיציה טרנספורמטיבית באמצעות מטריצות
טרנספורמציות גיאומטריות הן נושא חשוב במתמטיקה, ובמיוחד בגיאומטריה ובאלגברה לינארית. טרנספורמציות אלו יכולות לכלול העברות, סיבובים, השתקפויות והתרחבות. במאמר זה נבחן כיצד ניתן לייצג ולפתור את ההרכב של טרנספורמציות שונות באמצעות מטריצות. כמו כן, נספק דוגמאות לבעיות ופתרונות.
1. מבוא לטרנספורמציה באמצעות מטריצות
ניתן לייצג טרנספורמציות גיאומטריות באמצעות מטריצות. לדוגמה, ניתן לנסח טרנספורמציות של סיבוב, העברה, החזרה והתרחבות בצורת מטריצה באופן הבא:
1. תרגום
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. סיבוב
\[
R(θ) = \begin{pmatrix} \cosθ & -sinθ \sinθ & \cosθ \end{pmatrix}
\]
3. השתקפות סביב ציר ה-X
\[
\text{השתקפות X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. הרחבה (הגדלה/קנה מידה)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. הרכב טרנספורמציות עם מטריצות
קומפוזיציה של טרנספורמציה היא יישום רציף של שתי טרנספורמציות או יותר על אובייקט. כדי לחשב את קומפוזיציית הטרנספורמציה באמצעות מטריצות, אנו פשוט מכפילים את המטריצות המייצגות את הטרנספורמציות.
שאלות לדוגמה ודיון
סואל
בהינתן נקודה P(2, 3), מצא את תוצאת הטרנספורמציה הבאה:
1. סיבוב 90 מעלות בכיוון השעון (CW)
2. התרחבות עם גורם קנה מידה של 2
3. תרגום של (1, -2)
דִיוּן
1. סיבוב \(90°\circ\) CW
המטריצה עבור סיבוב עם כיוון השעון של \(90^\circ\):
\[
cos(-90) ו-sin(-90) sin(-90) ו-cos(-90) end{pmatrix} = 0 ו-1 -1 ו-0 end{pmatrix}
\]
החלת טרנספורמציית סיבוב על נקודה P:
\[
``` (\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\cdot 2 + 1 \\ -1 \\cdot 2 + 0 \\cdot 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\end{pmatrix}``
\]
הנקודה P לאחר טרנספורמציית הסיבוב היא P'(3, -2).
2. התרחבות עם גורם קנה מידה של 2
מטריצה להתרחבות עם גורם קנה מידה 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
החלת טרנספורמציית התרחבות בנקודה P'(3, -2):
\[
``` (\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \\ 3 + 0 \\ -2 \\ 0 \\ 3 + 2 \\ -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\end{pmatrix}``
\]
הנקודה P' לאחר טרנספורמציית ההתרחבות היא P”(6, -4).
3. תרגום של (1, -2)
להלן פעולות התרגום הנתונות:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
החלת טרנספורמציית תרגום בנקודה P"(6, -4):
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \\end{pmatrix} = \\end{pmatrix} 7 \\ -6 \\end{pmatrix}
\]
לכן, נקודת הסיום לאחר יישום כל הטרנספורמציות היא P(7, -6).
3. חישוב הרכב הטרנספורמציה
שאלות נוספות
בהינתן נקודה Q(1, 2) והטרנספורמציה הבאה:
1. השתקפות סביב ציר ה-X.
2. סיבוב של 180 מעלות בכיוון השעון (CW).
דִיוּן
1. השתקפות סביב ציר ה-X
מטריצת השתקפות סביב ציר ה-X:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
החלת טרנספורמציית השתקפות בנקודה Q:
\[
(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 ⋅ 1 + 0 \\ 2 \\ 0 \\ + (-1) \\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\end{pmatrix})
\]
הנקודה Q לאחר טרנספורמציית ההחזרה היא Q'(1, -2).
2. סיבוב \(180°\circ\) CW
מטריצה לסיבוב 180 מעלות בכיוון השעון:
\[
cos(180^circ) ו-sin(180^circ) sin(180^circ) ו-cos(180^circ) end{pmatrix} = -1 & 0 0 & -1 end{pmatrix}
\]
החלת טרנספורמציית סיבוב \(180^\circ\) על נקודה Q'(1, -2):
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 ⋅ 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
לכן, נקודת הסיום לאחר יישום כל הטרנספורמציות היא Q(-1, 2).
סְגִירָה
שיטת הרכב הטרנספורמציות באמצעות מטריצות שימושית מאוד לפישוט וחישוב שיטתי של טרנספורמציות גיאומטריות. על ידי ביצוע השלבים לעיל, נוכל להבין וליישם בקלות סוגים שונים של טרנספורמציות על נקודה בודדת או אובייקט גיאומטרי אחר. לימוד השימוש במטריצות בטרנספורמציות גם מקל על יישומן בתחומים שונים כמו פיזיקה, גרפיקה ממוחשבת ועוד.
