שאלות לדוגמה ודיון על פונקציית ההתפלגות הנורמלית
ההתפלגות הנורמלית, המכונה גם התפלגות גאוסית, היא אחת מהתפלגויות ההסתברות הבסיסיות ביותר בסטטיסטיקה ובניתוח נתונים. התפלגות זו מאופיינת בעקומת פעמון סימטרית סביב הממוצע, כאשר פיזור הנתונים משקף את סטיית התקן של הערכים סביבו. ההתפלגות הנורמלית היא הבסיס למושגים רבים בסטטיסטיקה היסקית ונמצאת בשימוש נרחב בתחומים שונים, כולל כלכלה, פסיכולוגיה ומדעי החברה.
במאמר זה נדון בכמה בעיות לדוגמה ובפתרונותיהן כדי להבין טוב יותר את פונקציית ההתפלגות הנורמלית.
מושגים בסיסיים של התפלגות נורמלית
ההתפלגות הנורמלית מתוארת על ידי שני פרמטרים עיקריים:
1. ממוצע (μ): הממוצע של מערך הנתונים.
2. סטיית תקן (σ): מודדת את פיזור הנתונים סביב הממוצע.
פונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות הנורמלית היא:
[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
הנה כמה צעדים בסיסיים בפתרון בעיות באמצעות התפלגות נורמלית:
1. קביעת ערך ה-Z: ערך ה-Z הוא מדד למרחק הנתונים מהממוצע ביחידות סטיית תקן ומחושב באמצעות הנוסחה:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. שימוש בטבלת Z: טבלת Z או טבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית משמשת למציאת ההסתברות או האחוז של נתונים הנמוכים או גבוהים מערך Z מסוים.
שאלות לדוגמה ודיון על התפלגות נורמלית
שאלה 1
לכיתה יש ציון ממוצע של 70 במבחן מתמטיקה עם סטיית תקן של 10. אם ציוני המבחן מתפלגים נורמלית, איזה אחוז מהתלמידים קיבלו ציון של יותר מ-85?
דִיוּן:
1. קביעת ציון ה-Z: ראשית, חשבו את ציון ה-Z עבור X = 85.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. התבוננות בטבלת Z: אנו מחפשים את ערך ההסתברות עבור Z = 1.5 מטבלת Z. ערך ההסתברות עבור Z = 1.5 הוא 0.9332. משמעות הדבר היא ש-93.32% מהערכים נמוכים מ-Z = 1.5.
3. חישוב האחוז: מכיוון שאנו זקוקים לאחוז התלמידים שקיבלו ציון של יותר מ-85, אנו מחשבים 1 – 0.9332 = 0.0668.
אז, 6.68% מהתלמידים קיבלו ציונים גבוהים מ-85.
שאלה 2
גובהם של גברים בוגרים במדינה מסוימת מתפלג לפי התפלגות נורמלית עם ממוצע של 175 ס"מ וסטיית תקן של 6 ס"מ. קבע את אחוז הגברים שגובהם נע בין 170 ס"מ ל-180 ס"מ.
דִיוּן:
1. קבע את ציון ה-Z עבור 170 ס"מ:
[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \approx -0.83 \]
2. קבע את ציון ה-Z עבור 180 ס"מ:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \בערך 0.83 \]
3. ראה טבלה Z:
– ההסתברות עבור Z = -0.83 היא 0.2033.
– ההסתברות עבור Z = 0.83 היא 0.7967.
4. חישוב אחוזים:
– ההסתברות לגובה בין 170 ס"מ ל-180 ס"מ היא 0.7967 – 0.2033 = 0.5934.
– אז, ל-59.34% מהגברים יש גובה שבין 170 ס"מ ל-180 ס"מ.
שאלה 3
מבחן IQ משתמש בהתפלגות נורמלית עם ממוצע של 100 וסטיית תקן של 15. איזה ציון נמצא באחוזון ה-85?
דִיוּן:
1. מציאת ערך Z עבור האחוזון ה-85: מטבלת Z או באמצעות מחשבון, האחוזון ה-85 מתאים ל-Z = 1.04.
2. חישוב ציון IQ:
[X = Zsigma + μ]
[X = 1.04 כפול 15 + 100]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
אז, ציון IQ שנופל בתוך האחוזון ה-85 הוא בסביבות 115.6.
שאלה 4
אם ידוע שהציון הממוצע של תלמידי תיכון במבחנים קוגניטיביים הוא 65 עם סטיית תקן של 12, איזה ציון נמצא באחוזון ה-25?
דִיוּן:
1. מציאת ערך ה-Z עבור האחוזון ה-25: מטבלת ה-Z או באמצעות מחשבון, ערך ה-Z עבור האחוזון ה-25 הוא בקירוב -0.674.
2. חישוב ציוני מבחנים:
[X = Zsigma + μ]
[X = -0.674 כפול 12 + 65]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \בערך 56.912 \]
אז, הערך שנמצא באחוזון ה-25 הוא בסביבות 56.912.
מסקנה
התפלגות נורמלית היא מושג חיוני בסטטיסטיקה המאפשר לנו לנתח ולהבין נתונים מנקודת מבט של הסתברות. באמצעות גישת ההתפלגות הנורמלית, אנו יכולים לחשב אחוזים, לקבוע ערכים ספציפיים המבוססים על אחוזונים ולהשוות נתונים לממוצע.
פתרון בעיות עם התפלגות נורמלית אינו שימושי רק למבחנים ולמחקר אקדמי, אלא גם בעל יישומים מעשיים בתחומים רבים בחיים האמיתיים כמו פסיכולוגיה, עסקים ומדעי החברה. באמצעות הדוגמאות והדיונים לעיל, אנו מקווים שתבינו טוב יותר את פונקציית ההתפלגות הנורמלית וכיצד ליישם אותה בהקשרים שונים.
