1. Due masse m1 = 2 kg e m2 = 5 kg si trovano su un piano inclinato e sono collegate tra loro da una corda come mostrato in figura. Il coefficiente di attrito cinetico tra m1 e il piano inclinato è 0.2 e il coefficiente di attrito cinetico tra m2 e il piano inclinato è 0.1.
(a) Determinare la loro accelerazione
(b) Determinare la forza di tensione
Conosciuto :
Massa 1 (m 1 ) = 2 kg
Massa 2 (m 2 ) = 4 kg
Coefficiente di attrito cinetico tra m 1 e il piano inclinato (μ k1 ) = 0.2
Coefficiente di attrito cinetico tra m 2 e il piano inclinato (μ k2 ) = 0.1
Accelerazione di gravità (g) = 9.8 m/ s²
a) L'entità e la direzione dell'accelerazione
w 1 = peso 1 = m 1 g = (2 kg)(9.8 m/s 2 ) = 19.6 Newton
w 1x = w 1 sin 30 o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 Newton
w 1y = w 1 cos 30 o = (19.6 N)(0.87) = 17 Newton
N 1 = La forza normale su m 1 = w 1y = 17 Newton
F k1 = La forza di attrito cinetico su m 1 = μ k1 N 1 = (0.2)(17 N) = 3.4 Newton
---
w 2 = peso 2 = m 2 g = (4 kg)(9.8 m/s 2 ) = 39.2 Newton
w 2x = w 2 sin 60 o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 Newton
w 2y = w 2 cos 60 o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 Newton
N 2 = La forza normale su m 2 = w 2y = 19.6 Newton
F k2 = La forza di attrito cinetico su m 2 = μ k2 N 2 = (0.1)(19.6 N) = 1.96 Newton
---
L'entità dell'accelerazione:
∑ F x = ma x
w 2x > w 1x , quindi la direzione dell'accelerazione è la stessa della direzione di w 2x.
Le forze che puntano nella stessa direzione dell'accelerazione sono positive, mentre le forze che hanno direzione opposta all'accelerazione sono negative.
w2x - Fk2 - T2 + T1 - w1x - Fk1 = (m1 +m2) perx
w 2x – F k2 – w 1x – F k1 = (m 1 + m 2 ) a x
34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a x
18.94 N = (6 kg) a x
a x = 18.94 N : 6 kg
a x = 3.16 m/ s²
Modulo dell'accelerazione = 3.16 m/s² . Direzione dell'accelerazione = direzione di T₁ = direzione di w²x
b) Ampiezza della forza di tensione
Applica la seconda legge di Newton all'oggetto 2:
w 2x – F k2 – T 2 = m 2 a x
34.1 N – 1.96 N – T 2 = (4 kg)(3.16 m/s 2 )
32.14 N – T 2 = 12.64 N
T 2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 Newton
La forza di tensione = T = T 1 = T 2 = 19.5 Newton
[irp]
2. m 1 = 4 kg, m 2 = 2 kg. Determinare (a) modulo e direzione dell'accelerazione (b) modulo della forza di tensione che collega m 1 e m 2 (c) modulo della forza di tensione che collega la puleggia al tetto.
Soluzione
w 1 = m 1 g = (4 kg)(9.8 m/s 2 ) = 39.2 Newton
w 2 = m 2 g = (2 kg)(9.8 m/s 2 ) = 19.6 Newton
a) Modulo e direzione dell'accelerazione
∑ F y = ma y
w 1 > w 2 quindi la direzione dell'oggetto è la stessa della direzione del peso 1 ( w 1 ) . Le forze che hanno la stessa direzione dell'accelerazione sono positive e le forze che hanno direzione opposta all'accelerazione sono negative.
w 1 – T 1 + T 2 – w 2 = (m 1 + m 2 ) a y
w 1 – w 2 = (m 1 + m 2 ) a y
39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) a anno
19.6 N = (6 kg) a y
a y = 19.6 N : 6 kg
a y = 3.26 m/s 2
Modulo dell'accelerazione = 3.26 m/s² . Direzione dell'accelerazione = direzione di w₁.
b) Ampiezza della forza di tensione che collega m 1 e m 2
Applica la seconda legge di Newton a m 2 :
∑ F y = ma y
w 1 – T 1 = m 1 a y
39.2 N – T 1 = (4 kg)( 3.26 m/s 2 )
39.2 N – T 1 = 13.04 N
T 1 = 39.2 N – 13.04 N
T 1 = 26.16 Newton
Modulo della forza di tensione che collega gli oggetti = T = T 1 = T 2 = 26.16 Newton
c) Entità della forza di tensione che collega la puleggia al tetto.
La puleggia è a riposo:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
Le forze verso l'alto sono positive, le forze verso il basso sono negative:
T 3 – T 1 – T 2 = 0
T3 = T1 + T2
T 1 e T 2 hanno la stessa grandezza , T 1 = T 2 = T = 26.16 N :
T 3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 Newton
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3. Blocco 1 (m 1 = 10 kg) e blocco 2 (m 2 = 15 kg) collegati da una corda su una puleggia senza attrito. Coefficiente di attrito statico tra il blocco 2 e il piano inclinato = 0.6. Coefficiente di attrito dinamico tra il blocco 2 e il piano inclinato = 0.42. Determinare (a) l'intensità della forza minima F esercitata sugli oggetti affinché questi accelerino verso l'alto (b) determinare l'intensità della forza di tensione.
Soluzione
w 1 = Il peso del blocco 1 = m 1 g = (10 kg)(9.8 m/s 2 ) = 98 Newton
w 2 = Il peso del blocco 2 = m 2 g = (15 kg)(9.8 m/s 2 ) = 147 Newton
w 2y = w 2 cos 30 o = (147 N)(0.87) = 127.89 Newton
w 2x = w 2 sin 30 o = (147 N)(0.5) = 73.5 Newton
N 2 = La forza normale sul blocco 2 = w 2y = 127.89 Newton
F k2 = La forza di attrito cinetico sul blocco 2 = μ k2 N 2 = (0.42)(127.89 N) = 53.7 Newton
F s2 = La forza di attrito statico sul blocco 2 = μ s2 N 2 = (0.6)(127.89 N) = 76.7 Newton
a) L'entità della forza minima F esercitata sugli oggetti affinché questi accelerassero verso l'alto
∑ F x = ma x —— a x = 0
∑ F x = 0
Le forze dirette verso l'alto e verso destra sono positive, mentre le forze dirette verso il basso e verso sinistra sono negative.
F – F k2 – w 2x – w 1 – T 2 + T 1 = 0
F – F k2 – w 2x – w 1 = 0
F = F k2 + w 2x + w 1
F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N
F = 225.2 Newton
b) L'entità della forza di tensione
Applica la legge del moto di Newton al blocco 1:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
T 1 – w 1 = 0
T 1 = w 1 = 98 Newton
Applica la legge del moto di Newton al blocco 2:
F – F k2 – w 2x – T 2 = 0
T 2 = F – F k2 – w 2x
T 2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N
T 2 = 98 Newton
Ampiezza della forza di tensione = T 1 = T 2 = T = 98 Newton
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4. Il blocco 1 (m 1 = 16 kg) si trova su una superficie orizzontale e il blocco 2 (m 2 = 12 kg) si trova su un piano inclinato liscio, collegati da una corda che passa sopra una piccola puleggia senza attrito. Il blocco 3 (m 3 = 5 kg) si trova sul blocco 2. Il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco 2 e la superficie orizzontale è 0,4. Il coefficiente di attrito statico tra il blocco 2 e il blocco 3 è 0,3.
(a) Quando il sistema viene rilasciato da fermo, il blocco 3 e il blocco 2 continuano a scorrere insieme?
(b) Se è presente il blocco 3, qual è l'accelerazione del blocco 1 e del blocco 2?
soluzione:
a) Quando il sistema viene rilasciato da fermo, il blocco 3 e il blocco 2 continuano a scorrere insieme?
w 1 = Il peso del blocco 1 = m 1 g = (16 kg)(9.8 m/s 2 ) = 156.8 Newton
w 1x = w 1 sin 60 o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 Newton
w 1y = w 1 cos 60 o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 Newton
N 1 = La forza normale esercitata sul blocco 1 dal piano inclinato = w 1y = 78.4 Newton
w 3 = Il peso del blocco 3 = m 3 g = (5 kg)(9.8 m/s 2 ) = 49 Newton
N 23 = La forza normale esercitata sul blocco 3 dal blocco 2 = w 3 = 49 Newton
N 32 = La forza normale esercitata sul blocco 2 dal blocco 3 = N 23 = w 3 = 49 Newton
(N 23 e N 32 sono una coppia azione-reazione )
F s23 = La forza di attrito statico esercitata sul blocco 3 dal blocco 2 = μ s N 23 = (0.3)(49 N) = 14.7 Newton
F s32 = La forza di attrito statico esercitata sul blocco 2 dal blocco 3 = F s 23 = 14.7 Newton
(F s23 e F s32 costituiscono una coppia azione-reazione )
w 2 = Il peso del blocco 2 = m 2 g = (12 kg)(9.8 m/s 2 ) = 117.6 Newton
N 2 = La forza normale esercitata sull'oggetto 2 dalla superficie orizzontale = w 2 + N 32 = 117.6 Newton + 49
Newton = 166.6 Newton
F k2 = La forza di attrito cinetico sul blocco 2 = μ k N 2 = (0.4)(166.6 N) = 66.64 Newton
Applica la legge del moto di Newton al blocco 3:
∑ F x = ma x
F s23 = m 3 a x
—–> Fs23 =μs N23 =μs w3 =μs m3 g
μ s m 3 g = m 3 a x
μ s g = a x
a x = (0.3)(9.8 m/s 2 ) = 2.94 m/s 2
L'accelerazione massima del blocco 3 affinché il blocco 3 e il blocco 2 continuino a scorrere insieme è di 2.94 m/ s².
Ora calcoliamo l'entità dell'accelerazione del sistema dopo che è stato rilasciato da fermo.
La direzione dello spostamento del blocco = la direzione dell'accelerazione del blocco = la direzione di T 2 = la direzione di w 1x.
∑ F x = ma x
w1x - T1 + T2 - Fk2 - Fs32 + Fs23 = (m1 +m2 +m3) perx
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a x
136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a x
69.76 N = (33 kg) a x
a x = 2.11 m/s 2
a x è positivo, il che significa che la direzione dello spostamento del blocco o la direzione dell'accelerazione è la stessa della direzione di T 2 o della direzione di w 1x.
L'entità dell'accelerazione è di 2.11 m/s² , inferiore a 2.94 m/s² , quindi possiamo concludere che il blocco 3 e il blocco 2 continuano a scivolare insieme anche dopo essere stati rilasciati da fermi.
b) L'entità dell'accelerazione del blocco 1 e del blocco 2
∑ F x = ma x
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 ) a x
—–> Fk2 =μk N2 =μk w2 =μk m2 g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s2) = 47.04 Newton
136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a x
89.36 N = (28 kg) a x
a x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s 2
[wpdm_package id = '493 ′]
- Massa e peso
- Forza normale
- Seconda legge del moto di Newton
- Forza di attrito
- Movimento sulla superficie orizzontale senza forza di attrito
- Il moto di due corpi con la stessa accelerazione su una superficie orizzontale ruvida con forza di attrito
- Moto su un piano inclinato senza forza di attrito
- Moto su un piano inclinato scabro con forza di attrito
- Movimento in un ascensore
- Il movimento dei corpi è collegato da corde e pulegge.
- Due corpi con la stessa accelerazione
- Percorrere una curva piatta: dinamica del moto circolare
- Percorrere una curva sopraelevata: dinamica del moto circolare
- Moto uniforme in un cerchio orizzontale
- Forza centripeta nel moto circolare uniforme
