Materiale dell'equazione di continuità
Provate ad aprire lentamente il rubinetto dell'acqua osservando il flusso d'acqua che ne esce. Una volta che il rubinetto si ferma, bloccatelo parzialmente con la mano. Ora confrontate quale flusso d'acqua è maggiore: con il rubinetto parzialmente bloccato o senza. Se avete un tubo che usate di solito per innaffiare i fiori, lasciate scorrere l'acqua al suo interno. Bloccatelo parzialmente con la mano o con un dito. Più parte del tubo è bloccata, più velocemente uscirà l'acqua. Al contrario, se il tubo non è bloccato, l'acqua scorrerà più lentamente. Perché succede questo? Per capirlo, studiate l'equazione di continuità.
Linee di flusso e condotti di flusso
Innanzitutto, cerchiamo di comprendere i concetti di linee di flusso e tubi di flusso. Questo concetto è importante perché vi aiuterà a comprendere l'equazione di continuità.
Linea di flusso
Osservate l'immagine qui sotto: la linea blu rappresenta la linea di flusso.
In un flusso stazionario, la velocità di ciascuna particella di fluido in un punto, ad esempio il punto A, rimane costante. Quando una particella passa per il punto B, la sua velocità può variare. Tuttavia, una volta raggiunta nuovamente il punto B, le particelle di fluido che la seguono continuano a fluire alla stessa velocità di quelle che l'hanno preceduta. Lo stesso vale per i punti C e così via. La linea di flusso è la curva che collega i punti A, B e C.
Tubo di flusso
In sostanza, possiamo tracciare ogni linea di flusso attraverso ogni punto del flusso del fluido. Se consideriamo un flusso di fluido stazionario, un certo numero di linee di flusso che passano attraverso un determinato angolo su una superficie immaginaria (area della superficie immaginaria) formano un tubo di flusso. Nessuna particella di fluido si interseca con le altre, ma sono sempre parallele, e il tubo di flusso assomiglierà a un tubo che ha sempre la stessa forma. Il fluido che entra da un'estremità del tubo uscirà dal tubo dall'altra estremità.
Addebito
La portata indica il volume di un fluido che attraversa una determinata sezione trasversale in un certo intervallo di tempo. Matematicamente, può essere espressa come segue:
Per facilitare la comprensione, facciamo un esempio. Supponiamo che un fluido scorra attraverso un tubo. I tubi sono solitamente cilindrici e hanno una specifica area della sezione trasversale. Il tubo ha anche una lunghezza.
Quando il fluido scorre nel tubo fino a una distanza L, il volume di fluido nel tubo è V = AL (V = volume del fluido, A = area della sezione trasversale e L = lunghezza del tubo). Poiché durante il flusso nel tubo lungo L il fluido percorre un certo intervallo di tempo, possiamo affermare che la portata del fluido è:
Poiché v = s/t = L/t —> L = vt, l'equazione precedente si trasforma in:
Pertanto, quando un fluido scorre attraverso un tubo avente una determinata area della sezione trasversale e lunghezza per un certo intervallo di tempo, la portata del fluido (Q) è pari all'area della sezione trasversale (A) moltiplicata per la velocità del flusso del fluido (v).
Equazione di continuità
Consideriamo il flusso di un fluido in un tubo con diametri diversi, come mostrato nella figura seguente.
Questa immagine mostra il flusso di un fluido da sinistra a destra (il fluido scorre da un tubo di grande diametro a un tubo di piccolo diametro). Le linee tratteggiate rappresentano le linee di flusso.
Didascalia dell'immagine: A1 = area della sezione trasversale della sezione del tubo di grande diametro, A2 = area della sezione trasversale della sezione di tubo di piccolo diametro, v1 = velocità del flusso del fluido nella sezione di tubo di grande diametro, v2 = velocità del flusso del fluido nella sezione di tubo di piccolo diametro, L = distanza percorsa dal fluido.
Nell'introduzione alla fluidodinamica, è stato spiegato che in questa disciplina si studia il flusso di fluidi incomprimibili, non viscosi, non turbolenti e stazionari. In un flusso stazionario, la velocità delle particelle di fluido in un punto è uguale alla velocità delle altre particelle di fluido che attraversano quel punto. Inoltre, i flussi di fluido non si intersecano (le linee di flusso sono parallele). Pertanto, la massa di fluido che entra da un'estremità del tubo deve essere uguale alla massa di fluido che esce dall'altra estremità. Se un fluido con una certa massa entra in un tubo di grande diametro, allora uscirà dal tubo di piccolo diametro con una massa costante.
Ora, osservate l'immagine del tubo qui sopra. Guardate la parte del tubo con il diametro maggiore e la parte del tubo con il diametro minore.
Durante un certo intervallo di tempo, una certa quantità di fluido scorre attraverso una sezione di tubo di grande diametro (A).1) per quanto riguarda L1 (L1 = v1 t). Il volume del fluido che scorre è V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Durante lo stesso intervallo di tempo, un'altra quantità di fluido scorre attraverso una sezione di tubo con un diametro minore (A).2) per quanto riguarda L2 (L2 = v2 t). Il volume del fluido che scorre è V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Equazione di continuità per fluidi incomprimibili (incomprimibile)
Innanzitutto, consideriamo il caso di un fluido incomprimibile. In un fluido incomprimibile, la densità, o massa, del fluido è sempre la stessa in ogni punto che attraversa. La massa del fluido che scorre in un tubo con un'area della sezione trasversale A è1 (diametro del tubo grande) durante un certo intervallo di tempo è:
Allo stesso modo, la massa di fluido che scorre in un tubo avente un'area della sezione trasversale A2 (diametro del tubo piccolo) durante un certo intervallo di tempo è:
Considerando che in un flusso stazionario la massa di fluido in ingresso è uguale alla massa di fluido in uscita, allora:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t (la densità del fluido e l'intervallo di tempo sono uguali, quindi si annullano)
A1 v1 = A2 v2
Pertanto, nei fluidi incomprimibili, si applica l'equazione di continuità:
A1 v1 = A2 v2 — Equazione 1
Informazione :
A1 = area della sezione trasversale 1, A2 = area della sezione trasversale 2, v1 = velocità del flusso del fluido nella sezione trasversale 1, v2 = velocità del flusso del fluido nella sezione trasversale 2, A v = portata volumetrica V/t detta anche scarico
L'equazione 1 mostra che la portata volumetrica, nota anche come portata di scarico, è sempre la stessa in ogni punto lungo un tubo o una condotta. Man mano che la sezione trasversale del tubo diminuisce, la portata del fluido aumenta; viceversa, man mano che la sezione trasversale del tubo aumenta, la portata del fluido diminuisce.
Quando chiudiamo parzialmente il rubinetto, il flusso d'acqua diventa più veloce rispetto a quando è completamente chiuso. Questo perché la sezione trasversale del rubinetto diminuisce quando è parzialmente chiuso, aumentando la portata dell'acqua (il fluido scorre più velocemente). Lo stesso vale per i tubi flessibili. Tuttavia, è importante notare che la portata volumetrica rimane la stessa in tutti i punti lungo il percorso dell'acqua, sia che il rubinetto sia parzialmente chiuso o meno. Quindi, ciò che cambia è la velocità del flusso del fluido.
E per quanto riguarda la portata d'acqua in un fiume? Le sezioni più profonde di un fiume hanno una sezione trasversale maggiore rispetto a quelle meno profonde, quindi la velocità della corrente nelle sezioni più profonde è inferiore. Se vedete un fiume che scorre molto calmo, significa che è profondo. Ma se improvvisamente la corrente diventa rapida, quella sezione è sicuramente poco profonda. Tuttavia, la portata volumetrica dell'acqua rimane sempre la stessa, sia nelle sezioni profonde che in quelle calme del fiume.
Equazione di continuità per fluidi comprimibili (comprimibile)
Nel caso di un fluido comprimibile (comprimibileLa densità di un fluido non è sempre la stessa. In altre parole, la densità di un fluido cambia quando viene compresso. Se eliminiamo la densità del fluido dall'equazione per un fluido incomprimibile, in questo caso la densità del fluido è ancora inclusa. Utilizzando l'equazione derivata in precedenza come guida, deriviamo l'equazione per un fluido comprimibile.
Considerando che in un flusso stazionario la massa di fluido in ingresso è uguale alla massa di fluido in uscita, allora:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
L'intervallo di tempo del flusso del fluido è lo stesso, quindi può essere eliminato. L'equazione diventa:
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → Equazione 2
Questa è l'equazione per un fluido comprimibile. L'unica differenza sta nella densità del fluido. Quando un fluido viene compresso, la sua densità cambia. Al contrario, quando un fluido è incomprimibile, la sua densità rimane costante e può essere semplificata.
Esempio di domanda 1:
L'acqua scorre attraverso un tubo con un diametro di 10 cm a una velocità di 2 m/s. Qual è la portata d'acqua?
Discussione
È noto che:
Diametro del tubo = 10 cm (questo è il diametro interno del tubo)
Raggio del tubo (r) = 5 cm = 0,05 m
velocità dell'acqua = 2 m/s
Chiesto: Addebito
Risposta :
Q = A v
Q = ( π r2) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m)2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m2)(2 m/s)
Q = 0,0157 m3 / S
Esempio di domanda 2:
Un tubo dell'acqua con un diametro di 20 cm è collegato a un altro tubo con un diametro di 10 cm. Se la portata dell'acqua nel tubo di 20 cm di diametro è di 4 m/s, qual è la portata dell'acqua nel tubo di 10 cm di diametro?
Discussione
È noto che:
Diametro 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/s
Diametro 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Domanda: v1
Risposta :
Q1 = D2
A1 v1 = A2 v2
(π r12) (4 m/s) = (π r22) (contro2)
(0,1 m)2 (4 m/s) = (0,05 m)2 (v2)
(0,01 m2)(4 m/s) = (0,0025 m2)(v2)
(0,04 m3 /s) = (0,0025 m2)(v2)
v2 = 16 m/s
