Esempi di domande che trattano la varianza e la deviazione standard dei dati di gruppo
preliminare
In statistica, la varianza e la deviazione standard sono due misure statistiche fondamentali per comprendere la dispersione, o la variabilità, dei dati rispetto alla media. La varianza misura quanto i dati si discostano dalla media, mentre la deviazione standard è la radice quadrata della varianza, fornendo una misura espressa nelle stesse unità di misura dei dati originali.
Definiti
– Varianza (σ² o S²): è la media dei quadrati delle differenze tra ciascun valore dei dati e la media dei dati.
– Deviazione standard (σ o S): è la radice quadrata della varianza.
Formula per la varianza e la deviazione standard dei dati di gruppo
Per i dati di gruppo, utilizziamo la frequenza dei dati in ciascuna classe. Ecco la formula:
Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Deviazione standard
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Dove:
– \( f_i \) = frequenza di ciascuna classe.
– \( x_i \) = punto medio di ciascuna classe.
– \( \bar{x} \) = la media dei dati del gruppo.
– \( N \) = numero totale di dati.
Contoh Soal dan Pembahasan
Supponiamo di avere dati sul peso di un gruppo di persone suddivise in classi.
| Intervallo di peso (kg) | Frequenza (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Il primo passo consiste nel determinare il punto medio di ciascuna classe ( \( x_i \) ) e quindi calcolare la media (\( \bar{x} \)).
1. Calcolo del punto medio ( \( x_i \) )
\[ \text{Punto medio} = \frac{\text{Limite inferiore} + \text{Limite superiore}}{2} \]
| Intervallo di peso (kg) | Frequenza (f) | Punto medio ( \( x_i \) ) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Calcolo della media ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Numero totale di dati \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \somma f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Quindi, la media (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Calcolo della varianza ( \( S^2 \) )
Dobbiamo calcolare \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{align }
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align }
\]
Moltiplicazione per frequenza:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
5 × 33.64 = 168.2
& 8 × 0.64 = 5.12 \\
7 × 17.64 = 123.48
3 × 84.64 = 253.92
\end{align }
\]
\[
∑ f_i (x_i – √x)² = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Ora possiamo calcolare la varianza (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]
4. Calcolo della deviazione standard ( \( S \) )
Deviazione standard ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
conclusione
Dai dati di esempio sopra riportati, abbiamo:
– Calcolo del peso corporeo medio: 62.8 kg
– Calcolo della varianza: 32.85 kg²
– Calcolo della deviazione standard: 5.73 kg
L'interpretazione della deviazione standard è che la deviazione media dei dati relativi al peso dalla media è di circa 5.73 kg. Ciò indica la dispersione dei dati rispetto alla media, il che può aiutare a dedurre quanto siano variabili i nostri dati.
Una conoscenza approfondita della varianza e della deviazione standard è fondamentale, soprattutto per chi lavora nel campo della statistica, della ricerca e della sperimentazione, in quanto permette di interpretare i dati sotto forma di gruppi o distribuzioni. Saper calcolare e interpretare queste due misure può contribuire a prendere decisioni più consapevoli basate sui dati a disposizione.
