7 esempi di problemi di momento angolare
Momento angolare
1. Un oggetto ha momento d'inerzia 2 kg m2 e ruota su un asse fisso con velocità angolare 1 rad/s. Quanto? momento angolare quell'oggetto?
Discussione
È noto che:
Momento d'inerzia (I) = 2 kg m2
Velocità angolare (ω) = 1 rad/s
Chiesto: Momento angolare (L)
Risposta :
Formula del momento angolare:
L = I ω
Descrizione: L = momento angolare (kg m2/s), I = momento d'inerzia (kg m2), ω = velocità angolare (rad/s)
Momento angolare:
L = I ω = (2)(1) = 2 kg m2/s
2. Una puleggia a disco pieno ha una massa di 2 kg e un raggio di 0,1 metri. Se la puleggia ruota sul proprio asse con una velocità angolare costante di 2 rad/secondo, qual è il momento angolare della puleggia?
Discussione
È noto che:
Massa della puleggia a disco pieno (m) = 2 chilogrammi
Raggio della puleggia a disco pieno (r) = 0,1 metri
Velocità angolare (ω) = 2 radianti/secondo
Chiesto: Momento angolare della puleggia
Risposta :
La formula per il momento d'inerzia di un disco solido se ruota attorno a un asse come mostrato in figura:
I = 1/2 mr2
Descrizione: I = momento d'inerzia (kg m2), m = massa (kg), r = raggio (metri)
Momento d'inerzia di un disco solido:
I = 1/2 (2)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Momento angolare:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
3. Una sfera solida con massa di 2 kg e raggio di 0,2 metri ruota attorno al proprio asse con una velocità angolare di 4 rad/s. Determinare il momento angolare della sfera solida!
Discussione
È noto che:
Massa di una sfera solida (m) = 2 chilogrammi
Raggio di una sfera solida (r) = 0,2 metri
Velocità angolare (ω) = 4 radianti/secondo
Chiesto: Momento angolare di una sfera solida
Risposta :
La formula per il momento d'inerzia di una sfera solida se ruota attorno a un asse come mostrato in figura:
I = (2/5) mr2
Descrizione: I = momento d'inerzia (kg m2), m = massa (kg), r = raggio (metri)
Momento d'inerzia di una sfera solida:
I = (2/5)(2)(0,2)2 = (4/5)(0,04) = 0,032 kg m2
Momento angolare di una sfera solida:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 kg m2/s
4. Un oggetto con una massa di 1 kg si muove in cerchio con una velocità angolare costante di 2 rad/s. Determinare il momento angolare se il raggio della traiettoria della particella è di 10 cm.
Discussione
È noto che:
Massa dell'oggetto (m) = 1 chilogrammo
Raggio di una sfera solida (r) = 10 cm = 10/100 = 0,1 metri
Velocità angolare (ω) = 2 radianti/secondo
Chiesto: Momento angolare
Risposta :
La formula per il momento d'inerzia di una particella:
Io = signor2 = (1)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Momento angolare:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
Legge di conservazione del momento angolare
5. Un disco cilindrico solido omogeneo ruota inizialmente sul proprio asse con una velocità angolare di 5 rad/s. Il piano del disco è parallelo al piano orizzontale. La massa e il raggio del disco sono rispettivamente di 2 kg e 0,2 metri. Se un anello con una massa di 0,1 kg e un raggio di 0,2 metri viene posizionato sopra il disco, in modo che il centro dell'anello si trovi direttamente sopra il centro del disco, allora il disco e l'anello ruoteranno insieme con una velocità angolare di…
Discussione
È noto che:
Massa del cilindro solido (m1) = 2 chilogrammi
Raggio di un cilindro pieno (r1) = 0,2 metri
Velocità angolare di un cilindro solido (ω1) = 5 rad/s
Massa dell'anello (m2) = 0,1 chilogrammi
Raggio dell'anello (r)2) = 0,2 metri
Chiesto: Velocità angolare di cilindri e anelli
Risposta :
Momento d'inerzia di un cilindro pieno: I = 1⁄2 m1 r12 = 1⁄2 (2)(0,2)2 = (1)(0,04) = 0,04 kg m2
Momento d'inerzia dell'anello: I = mr2 = (0,1)(0,2)2 = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m2
Momento d'inerzia di un cilindro e di un anello solidi (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m2
Momento angolare iniziale (L1) = Momento angolare finale (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,04)(5) = (0,044)(ω2)
(0,2) = (0,044)(ω2)
ω2 = 0,2: 0,044
ω2 = 4,5 rad / s
6. Una ballerina ruota su se stessa con le braccia distese fino a una lunghezza di 150 cm e una velocità angolare di 10 radianti/secondo. Poi la ballerina piega le braccia fino a una lunghezza di 75 cm all'altezza dei gomiti. Qual è la velocità angolare finale?
Discussione
È noto che:
Raggio 1 (r1) = 150 cm = 1,5 metri
Raggio 2 (r2) = 75 cm = 0,75 metri
Velocità angolare 1 (ω1) = 10 rad/s
Chiesto: Velocità angolare 2 (ω2)
Risposta :
Momento d'inerzia iniziale: I1 = Sig.12 = (m)(1,5)2 = 2,25 m
Momento finale di inerzia: I2 = Sig.22 = (m)(0,75)2 = 0,5625 m
Momento angolare iniziale (L1) = Momento angolare finale (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(2,25 m)(10) = (0,5625 m)(ω2)
22,5 m = (0,5625 m)(ω2)
22,5 = (0,5625)(ω2)
ω2 = 22,5 / 0,5625
ω2 = 40 rad / s
7. Un disco cilindrico solido omogeneo ruota inizialmente sul proprio asse con una velocità angolare di 4 rad/s.-1La massa e il raggio del disco sono rispettivamente 1 kg e 0,5 m. Se si posiziona un anello sopra il disco, avente massa e raggio di 0,2 kg e 0,1 m, e il centro dell'anello si trova esattamente sopra il centro del disco cilindrico solido, allora il disco cilindrico solido e l'anello ruoteranno insieme con una velocità angolare...
A. 1 rad/s
B. 2 rad/s
C. 3 rad/s
D. 4 rad/s
E. 5 rad/s
Discussione :
Momento d'inerzia cilindro pieno : I = ½ mr2 = ½ (1 kg)(0,5 m)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m2
Momento d'inerzia dell'anello: I = mr2 = (0,2 kg)(0,1 m)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m2
Momento angolare iniziale (L1) = Momento angolare finale (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,125 kg m2)(4 rad/s) = (0,125 kg m2 + 0,002 kg m2)(ω2)
(0,5) = (0,127)(ω2)
ω2 = 0,5: 0,127
ω2 = 4 rad / s
La risposta corretta è D.
