Formúla fyrir lógræna aðhvarfsgreiningu
Aðhvarfsgreining (logistic regression) er ein vinsælasta aðferðin í tölfræði og gagnavísindum til að líkja eftir sambandi fjölda óháðra breyta (spárbreyta) og flokkalegrar háðrar breytu, sérstaklega tvíundarbreytu (t.d. já/nei, velgengni/mistök, veik/heilbrigð). Ólíkt línulegri aðhvarfsgreiningu, sem framleiðir samfelld gildi, er aðhvarfsgreining hönnuð til að meta líkur á atburði, þannig að lokaniðurstaðan er á bilinu 0 til 1. Í þessari grein munum við ræða formúluna fyrir aðhvarfsgreiningu, merkingu hvers þáttar og hvernig á að túlka hana.
Hvers vegna er þörf á lógískri aðhvarfsgreiningu?
Ef við notum línulega aðhvarfsgreiningu til að spá fyrir um líkindi, getur líkanið framleitt gildi undir 0 eða yfir 1, sem er greinilega óraunhæft fyrir líkindi. Lógrísk aðhvarfsgreining tekur á þessu vandamáli með því að nota ólínulegt fall sem varpar útreiknuðu niðurstöðunni (sem getur verið hvaða gildi sem er) á líkindagildi á milli 0 og 1. Algengasta fallið sem notað er er lógískt eða sigmóíð fall.
Til dæmis, gerum ráð fyrir að við viljum spá fyrir um hvort viðskiptavinur muni hætta viðskiptum út frá aldri hans, lengd áskriftar og tíðni notkunar. Spáð niðurstaða hefur aðeins tvo möguleika: viðskiptavinafrávik (1) eða engin viðskiptavinafrávik (0). Lógísk aðhvarfsgreining hentar vel í þess konar aðstæðum.
Grunnformúla fyrir lógræna aðhvarfsgreiningu
Kjarni aðhvarfsgreiningar er að líkja líkunum \(p \) á að \(Y = 1 \) (atburðurinn eigi sér stað), gefið gildi spábreytunnar \(X \).
Aðhvarfslíkön eru venjulega rituð í tveimur mikilvægum formum:
1) Líkindaform (Sigmoid)
\[
p = P(Y=1 \mid X) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
\]
Dengan
\[
z = β₀ + β₁ X₁ + β₂ X₂ + β₀ + β₇ X₇
\]
Upplýsingar:
– \(p \) er líkurnar á atburðinum (t.d.: churn = 1).
– \(e \) er tala Eulers (u.þ.b. 2,71828).
– \(z \) er línuleg samsetning spáþátta.
– \( \beta_0 \) er skurðpunkturinn (fasti).
– \(β₁, β₂, ..., βk \) eru aðhvarfsstuðlarnir.
– \(X_1, X_2, \ldots, X_k \) eru óháðar breytur.
Sigmoidfallið tryggir að óháð gildi \(z \), þá haldist gildi \(p \) á milli 0 og 1.
2) Logit eyðublað (Log líkur)
Önnur mjög mikilvæg form er logit-formið, sem er lógaritmi líkanna:
\[
``` (logit(p) = \ln\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k``
\]
Upplýsingar:
– \( \frac{p}{1-p} \) kallast líkurnar (hlutfallsleg tilviljun).
– \( \ln \) er náttúrulegi lógaritminn.
Logít-formið útskýrir að lógísk aðhvarfsgreining líkir í raun log-líkurnar sem línulegt fall af spáþáttunum. Þetta gerir túlkun stuðlanna skýrari, sérstaklega í samhengi við líkindahlutföll.
Að skilja líkur og líkindahlutföll
Til að skilja formúluna fyrir aðhvarfsgreiningu til fulls þurfum við að greina á milli líkinda og líkinda.
– Líkur \(p \): líkurnar á að atburður eigi sér stað (0 til 1).
– Líkur: samanburður á líkum á að eitthvað gerist og því að það gerist ekki:
\[
Líkur = p/1-p
\]
Dæmi: ef \(p = 0,8 \), þá:
\[
Líkur = \frac{0,8}{0,2} = 4
\]
Þetta þýðir að það eru fjórum sinnum meiri líkur á að atburðurinn gerist heldur en ekki.
Í lógískri aðhvarfsgreiningu er stuðullinn β oft túlkaður með líkindahlutfallinu:
\[
EÐA = e^{\beta}
\]
– Ef \( \β > 0 \), þá eykur \(e^{\β} > 1 \): spáþátturinn líkurnar á atburðinum.
– Ef \( \beta < 0 \), þá \( e^{\beta} < 1 \): spábreytan minnkar líkurnar á atburðinum. - Ef \( \beta = 0 \), þá \( e^{\beta} = 1 \): það hefur engin áhrif á líkurnar. Til dæmis, ef \( \beta_1 = 0,7 \), þá: \[ e^{0,7} \approx 2,01 \] Þetta þýðir að hver 1 einingar aukning í \( X_1 \) margfaldar líkurnar á atburðinum um það bil 2,01 sinnum (að því gefnu að aðrar breytur haldist fastar). Dæmi um einfalda lógíska aðhvarfsgreiningu Segjum sem svo að við höfum aðeins eina spábreytu \( X \), til dæmis fjölda námsstunda á viku, til að spá fyrir um hvort prófi verði staðið (staðið = 1, fallið = 0). Líkanið:
