Einföld línuleg aðhvarfsgreining
Einföld línuleg aðhvarfsgreining er tölfræðileg aðferð sem notuð er til að greina samband tveggja megindlegra breyta. Sú breyta sem við erum að reyna að spá fyrir um kallast háð breyta eða svörunarbreyta, en breytan sem notuð er til að gera spána kallast óháð breyta eða spábreyta. Í einfaldri línulegri aðhvarfsgreiningu reynum við að finna bestu beinu línuna sem lýsir sambandi þessara tveggja breyta.
Grunnhugtök einfaldrar línulegrar aðhvarfsgreiningar
Einföld línuleg aðhvarfsgreining byggir á þeirri forsendu að línulegt samband sé á milli háðu breytunnar \(Y\) og óháðu breytunnar \(X\). Almennt form einfaldrar línulegrar aðhvarfsgreiningarlíkans er:
[Y = β₀ + β₁ X + E]
Hvar:
– \(Y \) er háða breytan.
– \(X \) er óháða breytan.
– \( \β_0 \) er skurðpunkturinn, sem er gildi \(Y\) þegar \(X = 0\).
– \( \beta_1 \) er hallatala eða stigull, sem er meðalbreytingin á \(Y\) fyrir hverja einingarbreytingu á \(X\).
– \( \epsilon \) er villuliðurinn eða leifarliðurinn sem táknar breytileika í \(Y\) sem ekki er hægt að útskýra með \(X\).
Markmið einfaldrar línulegrar aðhvarfsgreiningar er að meta breyturnar β0 og β1 þannig að hægt sé að nota líkanið til að spá fyrir um gildi β sem tengist gildi βX.
Aðferð minnstu kvaðrata
Ein algengasta aðferðin til að aðlaga einfalt línulegt aðhvarfslíkan er aðferð minnstu kvaðrata. Þessi aðferð miðar að því að lágmarka summu ferninga lóðréttra frávika milli raunverulegra athugana og þeirra gilda sem líkanið spáir fyrir um. Segjum sem svo að við höfum n athuganir sem samanstanda af pörum \((x_i, y_i)\) fyrir \(i = 1, 2, …, n\). Fallið sem á að lágmarka er:
[S(β₀, β₁) = \summa_{i=1}^{n} (y₀ – (β₀ + β₁ x₀))^2 \]
Til að finna β₀ og β₁ sem lágmarka þetta fall, tökum við hlutaafleiður S(β₀, β₁) með tilliti til hverrar breytu og setjum þessar afleiður á núll. Stærðfræðilega útreikninginn má einfalda á eftirfarandi hátt:
[β1 = \frac{\summa_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\summa_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}]
\[ \beta_0 = \bar{y} – \beta_1 \bar{x} \]
Hvar:
– \(\bar{x}\) er meðaltal \(X\)
– \(\bar{y}\) er meðaltal \(Y\)
Eftir að færibreyturnar \(\beta_0\) og \(\beta_1\) hafa verið fengnar er hægt að nota einfalda línulega aðhvarfsgreiningu til að spá fyrir um gildi \(Y\) fyrir hvert gildi \(X\).
Forsendur í einfaldri línulegri aðhvarfsgreiningu
Til að fá gildar og áreiðanlegar niðurstöður gerir einföld línuleg aðhvarfsgreining ráð fyrir nokkrum þáttum:
1. Línuleiki: Sambandið milli háðrar breytu og óháðu breytu verður að vera línulegt.
2. Óhæði: Athuganir verða að vera óháðar hver annarri.
3. Homoscedasticity: Leifarbreytileikinn verður að vera stöðugur innan alls gildabils óháðu breytunnar.
4. Leifar af eðlilegri dreifingu: Leifar (villur) verða að fylgja normaldreifingu.
Ef þessum forsendum er ekki fullnægt verða niðurstöður einfaldrar línulegrar aðhvarfsgreiningar óáreiðanlegar og hugsanlega ekki hægt að spá fyrir um þær á réttan hátt.
Mat á aðhvarfslíkani
Ein leið til að meta hversu vel einföld línuleg aðhvarfsgreining hefur spáð fyrir um er að nota ákvörðunarstuðulinn (\(R^2\)). Ákvörðunarstuðullinn sýnir hlutfall breytileika í fylgibreytunni sem hægt er að útskýra með breytileika í óháðu breytunum.
[ R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i – \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2} ]
Hvar:
– \(\hat{y}_i\) er spáð gildi \(Y\).
– \(y_i\) er raunverulegt gildi \(Y\).
– \(\bar{y}\) er meðaltal gildanna í \(Y\).
Gildið \(R^2\) er á bilinu 0 til 1. Gildi \(R^2\) nálægt 1 gefur til kynna að líkanið geti útskýrt megnið af breytileikanum í fylgibreytunni.
Útfærsla í forritunarmáli
Til að útfæra einfalda línulega aðhvarfsgreiningu getum við notað ýmsa tölfræðilega hugbúnaði eða forritunarmál. Hér að neðan er dæmi um útfærslu í Python með `scikit-learn` bókasafninu:
"` pýthon
flytja inn dofinn sem np
flytja inn matplotlib.pyplot sem plt
frá sklearn.linear_model innflutningi Línulegrar aðhvarfsgreiningar
frá sklearn.metrics flytja inn meðaltal_kvaðrat_villu, r2_stig
Gögn
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]]).astype(np.float64)
y = np.array([1.5, 3.6, 3.5, 2.9, 5.5]).astype(np.float64)
Gerð
líkan = Línuleg aðhvarfsgreining()
líkan.passa(X, y)
Spá
y_predict = model.predict(X)
Stuðull
beta_0 = model.intercept_
beta_1 = model.coef_[0]
prenta(f'Skerpunarpunktur: {beta_0}')
prenta(f'Halla: {beta_1}')
prenta(f'Meðaltalsferningur villu: {meðaltal_ferningur_villa(y, y_pred)}')
prenta(f'Ákvörðunarstuðull (R^2): {r2_stig(y, y_áætlaður)}')
Gagnagraf og aðhvarfslína
plt.scatter(X, y, litur='blár')
plt.plot(X, y_pred, color='red')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()
„“
Í dæminu hér að ofan flytjum við fyrst inn nauðsynleg bókasöfn, skilgreinum gögnin \(X\) og \(Y\) og notum síðan `LinearRegression` hlutinn úr `scikit-learn` til að aðlaga líkan að gögnunum. Þegar líkanið hefur verið aðlagað gerum við spár og reiknum stuðlana, sem og meðalferning villunnar og ákvörðunarstuðulinn. Að lokum teiknum við gögnin og aðhvarfslínuna.
Niðurstaða
Einföld línuleg aðhvarfsgreining er öflugt tölfræðilegt greiningartól sem notað er til að útskýra samband tveggja megindlegra breyta. Með nokkrum grunnforsendum um línuleika, óhæði, einsleitni og eðlilegleika getum við spáð fyrir um gildi háðu breytunnar út frá gildum óháðu breytanna. Aðferð minnstu kvaðrata býður upp á áhrifaríka leið til að aðlaga aðhvarfslínu og ákvarða bestu breytur. Líkanmat með ákvörðunarstuðlinum (R2) veitir innsýn í hversu vel líkanið okkar virkar.
Þó að einföld línuleg aðhvarfsgreining hafi takmarkanir, svo sem að aðeins sé hægt að meðhöndla tvær breytur og forsendur sem verða að vera uppfylltar, þá er þessi tækni enn mikilvægur grunnur í tölfræði og gagnagreiningu og er oft notuð sem fyrsta skrefið í að skilja samband breyta áður en farið er yfir í flóknari aðferðir.
