Torricelli-setningin – vandamál og lausnir

Torricelli-setningin – vandamál og lausnir

1. Rör sem er 100 cm hátt, fyllt með vatni. Gat Q er staðsett 10 cm frá jörðu. Hver er lárétta fjarlægðin (x)?

Þekkt:

Fjarlægð milli holunnar og vatnsyfirborðsins (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Hröðun vegna þyngdaraflsins (g) = 10 m/s²

Óskað: Fjarlægð x

Lausn:

Hraði vatnsrennslis við holuna

v= hraða, g = hröðun vegna þyngdarafls, klst. = fjarlægðin milli holunnar og vatnsyfirborðsins

Hraði vatnsrennslis við holuna:

Tími í lofti

Hreyfing vatnsins frá holunni til jarðar er skothreyfingHægt er að skilja hreyfingu skotsins með því að greina lárétta og lóðrétta þætti hreyfingarinnar sérstaklega. X-hreyfingin á sér stað með föstum hraða og y-hreyfingin á sér stað með fastri þyngdarhröðun.

Í þessu vandamáli, lóðrétt hreyfing greind sem hreyfing í frjálsu falli.

Reiknaðu tímann í lofti með jöfnunni frjálst fall hreyfing.

Þekkt:

Hæð holunnar (y) = 10 cm = 0.1 m

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Óskað eftir: Tímabil (t)

Lausn:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 tonn²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 sekúndur

Lárétt fjarlægð (x):

Þekkt:

Upphafshraðinn (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Tími í lofti (t) = √0.02 sekúndur

Óskað eftir: Lárétt fjarlægð (x)

Lausn:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metrar

2. Tankur sem inniheldur vatn, 1 metra hár. Í punktinum P er gat. Hver er hraði vatnsrennslis við gatið? Þyngdarhröðunin er 10 m/s².

Þekkt:

Fjarlægð milli holunnar og vatnsyfirborðsins (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Óskað: Hraði vatnsflæðis við holuna (v)

Lausn:

Hraði vatnsrennslis við holuna:

3. Stóre baðkar inniheldur vatn og þar er krani eins og sýnt er á myndinni hér að neðan. Ef g = 10 ms^-2, þá er vatnshraðinn úr krananum…

Þekkt:

Hæð (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metrar

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Óskað: Vatnshraði (v)

Lausn:

TOrricelli-setningin segir að hraði vatns í gegnum gat sem er fjarri yfirborði vatns, h, sé jafn hraði frjálst falling vatn úr h hæð.

Vatnshraði er reiknaður út með formúlunni fyrir frjálst falla v_t² = 2 gh

v_t² = 2gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A pottur fyllt með vatni og á veggnum er gat (sjá mynd hér að neðan). Hraði vatnsins sem kemur upp úr holunni er… (g = 10 ms^-2)

Þekkt:

Hæð (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metrar

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Óskað eftir: Shraði vatnsins (V)

Lausn:

v_t² = 2gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Tankur sem inniheldur vatn allt að 1 metra (g = 10 ms^-2) og á veggnum er lekahola (sjá mynd hér að neðan). Hraði vatnsins sem kemur upp úr holunni er...

Þekkt:

Hæð (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metrar

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Óskað eftir: Shraði vatnsins (V)

Lausn:

v_t² = 2gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Hvað lýsir Torricelli-setningin?
   • Svar: Setning Torricelli tengir hraða vökva sem streymir út um op við hæð vökvasúlunnar fyrir ofan opið, að því gefnu að flæði sé stöðugt, óseigjanlegt (engin seigja) og óþjappanlegt.
2. Hvernig er setning Torricellis stærðfræðilega sett fram?
   • Svar: Setningin er tjáð sem v=√2gh​, Þar sem $v$ er hraði útstreymisins, $g$ er þyngdarhröðunin, og $h$ er hæð vökvasúlunnar fyrir ofan opið.
3. Undir hvaða forsendum var Torricelli-setningin sett fram?
   • Svar: Setningin gerir ráð fyrir að vökvinn sé óþjappanlegur og ekki seigfljótandi, að flæðið sé stöðugt og að engin viðbótarorka bætist við eða tekin úr vökvanum.
4. Ef ílát hefur tvö göt á mismunandi dýpi, hvernig mun hraði vökvanna sem koma út úr götunum bera sig saman?
   • Svar: Vökvinn sem kemur upp úr holunni nær botninum mun hafa meiri hraða en vökvinn úr hærri holunni. Þetta er vegna þess að þrýstingurinn (og þar með stöðuorkan) er meiri á dýpri dýpi.
5. Hvers vegna er hraði útstreymis ekki háður lögun eða þversniðsflatarmáli ílátsins?
   • Svar: Torricelli-setningin tekur aðeins tillit til stöðuorkunnar sem stafar af hæð vökvasúlunnar fyrir ofan opið. Lögun ílátsins breytir ekki þessari hæð, þannig að hraði útstreymisins helst sá sami.
6. Hvernig er raunverulegur hraði vökvans sem streymir út um op frábrugðinn spánni sem Torricelli-setningin gerir í raunverulegum aðstæðum?
   • Svar: Í raunverulegum aðstæðum geta þættir eins og seigja vökvans, ókyrrð og lögun opnunarinnar haft áhrif á raunverulegan hraða, oft gert hann minni en það sem Torricelli-setningin spáir fyrir um.
7. Hvert er sambandið milli setningar Torricellis og orkuvarðveislu?
   • Svar: Torricelli-setningin er fengin út frá varðveislu vélrænnar orku. Hún jafnar stöðuorkuna á yfirborði vökvans við hreyfiorkuna við opið.
8. Ef op er efst í vökvafylltu íláti, hvernig lýsir Torricelli-setningin útstreymishraðanum?
   • Svar: Hæðin $h$ fyrir ofan opið væri núll, svo samkvæmt setningu Torricelli væri útstreymishraðinn núll.
9. Hvernig hefur loftþrýstingur áhrif á spár Torricelli-setningarinnar?
   • Svar: Torricelli-setningin gerir ráð fyrir að ílátið sé opið út í andrúmsloftið og því verkar andrúmsloftsþrýstingur jafnt yfir yfirborð vökvans. Þessi þrýstingur jafnast út þegar þrýstingsmunurinn yfir hæð vökvans er skoðaður, þannig að setningin er enn gild.
10. Hvað gerist við útstreymishraðann þegar vökvinn í ílátinu minnkar?

• Svar: Þegar vökvastigið lækkar eykst hæðin $h$ fyrir ofan opið minnkar. Samkvæmt setningu Torricelli myndi útstreymishraðinn minnka þegar v=√2gh​.

Þessar spurningar og svör kanna undirstöður, afleiðingar og notkun Torricelli-setningarinnar í vökvafræði.