Standandi bylgjur – vandamál og lausnir
1. Þriggja metra strengurinn er bundinn í annan endann og hinn endinn er tengdur við titrara. Þegar titrarinn titrar myndar strengurinn kyrrstæða bylgju , eins og sýnt er á myndinni hér fyrir neðan.
Ákvarðið staðsetningu 5. móthnútsins frá fösta endanum.
Lausn:
Fjarlægð milli tveggja hnúta = 3 metrar / 5 = 3/5 metrar.
Fjarlægðin milli fyrsta hnútsins og fasta enda = 3/5 metrar
Fjarlægðin milli annars hnútar og fasta enda = 2 (3/5 metrar) = 6/5 metrar
Fjarlægðin milli þriðja hnútsins og fasta enda = 3 (3/5 metrar) = 9/5 metrar
Fjarlægðin milli fjórða hnútsins og fasta enda = 4 (3/5 metrar) = 12/5 metrar
Fjarlægð milli hnúts og móthnúts = 1/2 (3/5 metrar) = 3/10 metrar.
Fjarlægð milli fimmta móthnúts og fasta enda = fjarlægð milli fjórða hnúts og fasta enda + fjarlægð milli hnúts og móthnúts = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 metrar.
2. Eins og sýnt er á myndinni hér fyrir neðan er annar endinn tengdur við titrara og hinn endinn er fastur. Ef strengurinn er 1.5 metrar að lengd, finndu þá fjarlægðina milli fjórða hnútsins og titrarans.
Lausn:
Fjarlægð milli tveggja hnúta = 1.5 metrar / 11 = 1.5 / 11 metrar.
Fjarlægð milli fyrsta hnútar og titrara = 1.5 / 11 metrar
Fjarlægð milli annars hnútar og titrara = 2 (1.5 / 11 metrar) = 3/11 metrar
Fjarlægð milli þriðja hnútarins og titrarans = 3 (1.5 / 11 metrar) = 4.5 / 11 metrar
Fjarlægð milli fjórða hnútarins og titrarans = 4 (1.5 / 11 metrar) = 6/11 metrar = 0.54 metrar
3. Strengur hefur báða enda fasta, sem myndar grunntón með tíðnina 420 Hz. Ákvarðið þriðja yfirtóninn.
A. 840 Hz
B. 1260 Hz
C. 1680 Hz
D. 2940 Hz
Þekkt:
Grunntíðnin (f1 ) = 420 Hz
Báðir endar eru haldnir föstum.
Óskað eftir: þriðji yfirtónninn
Lausn:
Fyrsti yfirtónn (f² ) = 2 f¹ = 2 (420 Hz) = 840 Hz
Annar yfirtónn (f3 ) = 3 f1 = 3 (420 Hz) = 1260 Hz
Þriðji yfirtónn (f4 ) = 4 f1 = 4 (420 Hz) = 1680 Hz
Rétt svar er C.
4. Bylgjulengd fyrsta yfirtóns strengs er 40 cm. Ef hraði hljóðbylgjunnar í lofti er 340 m/s, ákvarðaðu þá þriðja yfirtóninn.
A. 850 Hz
B. 1600 Hz
C. 1700 Hz
D. 3200 Hz
Þekkt:
Bylgjulengd fyrsta yfirtónsins (λ) = 40 cm = 0.4 metrar
Hraði hljóðbylgjunnar í lofti (v) = 340 metrar/sekúnda
Óskað eftir: tíðni þriðja yfirtónsins
Lausn:
Hér að neðan er mynd af standbylgju á streng þar sem báðir endar eru fastir. Fyrst skal reikna lengd strengsins út frá bylgjulengd fyrsta yfirtónsins. Áður en tíðni þriðja yfirtónsins er reiknuð út skal fyrst reikna út bylgjulengd þriðja yfirtónsins.
Bylgjulengd fyrsta yfirtóns:
Lengd strengs (L) = 2 λ
Lengd strengs (L) = λ
Lengd strengs (L) = 0.4 metrar
Bylgjulengd þriðja yfirtónsins:
L = 2 λ
0.4 = 2 λ
λ = 0.4 / 2
λ = 0.2 metrar
Tíðni þriðja yfirtóns:
f = v / λ
f = 340: 0.2
f = 1700 Hertz
Rétt svar er C.
5. Rör sem er opið í báða enda og 40 cm langt framleiðir grunntón með tíðnina 420 Hz. Ákvarðið annan yfirtóninn.
A. 380 Hz
B. 460 Hz
C. 840 Hz
D. 1260 Hz
Þekkt:
Lengd pípu (L) = 40 cm = 0.4 metrar
Tíðni grunntónsins (f1 ) = 420 Hertz
Óskað eftir: Tíðni annars yfirtóns ( f3 )
Lausn:
Ef grunntónninn (f1 ) = 420 Hertz þá er annar yfirtónninn (f3 ) = 3, f1 = 3 (420 Hertz) = 1260 Hertz.
Rétta svarið er D.
6. Hljóðbylgja í lokuðu röri hefur svipaða bylgjumynstur og…
A. Bylgjuútbreiðsla á streng
B. Útbreiðsla bylgna á loftsúlunni
C. Standandi bylgja á streng sem er fastur í öðrum endanum
D. Standandi bylgja á streng sem er fastur í báðum endum
Lausn:
Lokað rör er rör sem er opið í öðrum endanum en lokað í hinum, eins og sýnt er á myndinni hér að ofan.
Rétt svar er C.
20 hugmyndalegar spurningar og svör tengdar standandi bylgjum:
1. Spurning: Hvað er standandi bylgja?
Svar: Standandi bylgja er bylgjumynstur sem virðist vera kyrrt, með hnútum og móthnútum, sem stafar af truflun tveggja bylgna sem ferðast í gagnstæðar áttir.
2. Spurning: Hvernig eru hnútar og móthnútar ólíkir?
Svar: Hnútar eru punktar með núll sveifluvídd, þar sem bylgjan helst í kyrrstöðu, en móthnútar eru punktar með hámarks sveifluvídd.
3. Spurning: Geta standandi bylgjur myndast í hvaða miðli sem er?
Svar: Standandi bylgjur geta myndast í hvaða miðli sem er sem leyfir bylgjuútbreiðslu, svo sem strengjum, loftsúlum og vatni.
4. Spurning: Hvernig tengist tíðni standandi bylgju fjölda sveiflubylgna hennar?
Svar: Grunntíðnin (fyrsta harmoníska bylgjan) er lægsta tíðni standbylgju. Hærri harmonískar bylgjur hafa tíðni sem er heilt margfeldi af grunntíðninni.
5. Spurning: Hvað ákvarðar staðsetningu hnúta í standandi bylgju?
Svar: Hnútar myndast þar sem bylgjur sem ferðast í gagnstæðar áttir trufla hvor aðra með skaðlegum áhrifum.
6. Spurning: Hvernig myndast standandi bylgjur á streng sem er fastur í báðum endum?
Svar: Þegar bylgja sem ferðast niður streng endurkastast í fösta endanum truflar hún innkomandi bylgjur og myndar standandi bylgjumynstur ef tíðnin passar við ákveðin skilyrði.
7. Spurning: Hvert er sambandið milli bylgjulengdar og lengdar miðilsins í standandi bylgju?
Svar: Fyrir streng sem er fastur í báðum endum er lengd miðilsins heiltala margfeldi af hálfri bylgjulengd standbylgjunnar.
8. Spurning: Hvers vegna flytja standandi bylgjur ekki orku yfir miðilinn?
Svar: Þó að einstakar agnir í miðlinum sveiflast, þá helst heildarbylgjumynstrið kyrrt, þannig að það á sér ekki stað nein nettó orkuflutningur í neina ákveðna átt.
9. Spurning: Geturðu séð standandi bylgjur í opnum rörum?
Svar: Já, standandi bylgjur geta myndast í opnum rörum, en jaðarskilyrðin eru önnur en í lokuðum rörum, sem hefur áhrif á staðsetningu hnúta og móthnúta.
10. Spurning: Hvað gerist við standbylgju þegar spenna í streng eykst?
Svar: Aukin spenna eykur bylgjuhraða, sem getur breytt tíðni og mynstri standbylgjunnar.
11. Spurning: Hvernig tengist ómun standandi bylgjum?
Svar: Ómun verður þegar utanaðkomandi kraftur eða titringur passar við eigintíðni kerfis og myndar áberandi standandi bylgju.
12. Spurning: Hver er grunntíðnin?
Svar: Grunntíðnin, eða fyrsta harmoníska bylgjan, er lægsta tíðnin þar sem kerfi getur borið standbylgju.
13. Spurning: Hvernig tengjast yfirtónar yfirtónum?
Svar: Yfirtónar eru tíðnir sem eru hærri en grunntíðnin. Fyrsti yfirtónninn samsvarar annarri yfirtónninni, annar yfirtónninn þriðju yfirtónninni og svo framvegis.
14. Spurning: Hvers vegna er engin tilfærsla við hnúta?
Svar: Við hnúta eru tvær truflandi bylgjur 180° úr fasa, sem leiðir til eyðileggjandi truflunar og núll tilfærslu.
15. Spurning: Er hægt að skauta standandi bylgjur?
Svar: Standandi bylgjur á streng eru þversbylgjur og hafa því sveiflustefnu (skautun). Hins vegar, í miðli eins og lofti, eru standandi hljóðbylgjur langsum og sýna ekki skautun.
16. Spurning: Hvers vegna nota hljóðfæri meginregluna um standandi bylgjur?
Svar: Hljóðfæri framleiða oft hljóð með því að búa til standandi bylgjur, þar sem mismunandi hljómar gefa frá sér mismunandi nótur.
17. Spurning: Hvernig tengist bylgjuhraði tíðni og bylgjulengd standandi bylgju?
Svar: Bylgjuhraði (v) er margfeldi tíðni (f) og bylgjulengdar (λ): v = fx λ.
18. Spurning: Geta tvær mismunandi tíðnir framleitt standandi bylgjur í sama miðlinum?
Svar: Já, svo framarlega sem tíðnin samsvarar skilyrðum fyrir standandi bylgjur í því miðli. Hver tíðni táknar mismunandi yfirtón.
19. Spurning: Hvernig eru standandi bylgjur í lokuðum rörum frábrugðnar þeim sem eru í opnum rörum?
Svar: Í lokuðum rörum er annar endinn með hnúti en hinn með móthnút. Í opnum rörum eru móthnútar á báðum endum.
20. Spurning: Geta standandi bylgjur myndast með hvaða tíðni sem er í gefnu miðli?
Svar: Nei, aðeins ákveðnar tíðnir sem uppfylla jaðarskilyrði miðilsins munu framleiða standandi bylgjur.
Að skilja standandi bylgjur er mikilvægt á ýmsum sviðum, allt frá tónlist til fjarskipta, þar sem þær tákna grundvallarhegðun bylgna við ákveðnar aðstæður.
