27 Hreyfing skotfæra – vandamál og lausnir
1. Kúla er skotin undir horninu θ = 60 ° með hraðanum 20 m/s. Þyngdarhröðunin er 10 m/s² . Hver er tíminn sem það tekur kúluna að ná hámarkshæð?
Þekkt:
Upphafshraði kúlunnar (v o ) = 20 m/s
Horn (θ) = 60 ° C
Þyngdarhröðun (g) = 10 ms –2
Óskað: Tímabilið sem þarf til að ná hámarkshæð
Lausn:
Upphafshraðinn í láréttri átt (x-ás):
v ox = v o cos 60 o = (20)(0.5) = 10 m/s
Upphafshraðinn í lóðréttri átt (y-ás):
v oy = vo sin 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
Tímabilið sem þarf til að ná hámarkshæð, reiknað með þessari jöfnu:
v ty = v oy + gt
v ty = lokahraðinn í lóðréttri átt = lokahraðinn á hæsta punkti = 0 m/s
v oy = upphafshraðinn í láréttri átt = 10√3 m/s
g = þyngdarhröðun = 10 m/ s²
t = tímabil
Tímabilið:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3 sekúndur
2. Hlutur sem er varpaður á ská. Hæð hlutarins er sú sama þegar tímabilið = 1 sekúnda og 3 sekúndur. Hvert er tímabil hlutarins í loftinu?
Lausn:
Hluturinn í loftinu í 4 sekúndur.
3. Flugvél hreyfist lárétt með hraðanum 50 m/s. Í 2 km hæð er hlutur sleppt úr flugvélinni. Þyngdarhröðunin er 10 m/ s², hver er tíminn sem líður áður en hluturinn lendir á jörðinni?
Þekkt:
Hæð = 2 km = 2000 metrar
Þyngdarhröðun (g) = 10 m/ s²
Óskað er eftir: Tímabilið (t)
Lausn:
klst = 1/2 gt²
2000 = 1/2 (10) t²
2000 = 5 t²
t2 = 2000/5 = 400
t = √400 = 20 sekúndur
4. Sparkaður fótbolti fer frá jörðinni í horninu θ = 45 ° þar sem upphafshraða láréttrar stefnu er 25 m/s. Ákvarðið fjarlægðina X. Þyngdarhröðunin er 10 m/ s².
Þekkt:
Upphafshraði (v o ) = 25 m/s
Þyngdarhröðun (g) = 10 m/ s²
Horn (θ) = 45 °
Óskað eftir: X
Lausn:
Láréttur hluti upphafshraðans:
v ox = v o cos θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Lóðréttur þáttur upphafshraðans:
v oy = v o sin θ = (25 m/s)(sin 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Hægt er að skilja hreyfingu skotfæra með því að greina lárétta og lóðrétta þætti hreyfingarinnar sérstaklega. X-hreyfingin á sér stað við fasta hraða og y-hreyfingin við fasta þyngdarhröðun.
Tími í loftinu (t):
Tíminn í lofti er reiknaður með jöfnu fyrir lóðrétta upphreyfingu.
Veldu uppávið sem jákvæða stefnu og niðurávið sem neikvæða.
Þekkt:
Upphafshraðinn (v o ) = 12.5√2 m/s (upp á við, jákvæð)
Þyngdarhröðun (g) = -10 m/s² ( niður á við, neikvæð)
Hæð (h) = 0
Óskað eftir: Tímabil (t)
Lausn:
h = v o t + 1/2 gt²
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t²
0 = 12.5√2 t – 5 t2
12.5√² t = 5 t²
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2 sekúndur
Lárétt fjarlægð (X):
Reiknað með jöfnu fyrir einsleita línulega hreyfingu með föstum hraða.
Þekkt:
Hraði (v) = 12.5√2 m/s
Tímabil (t) = 2.5√2 sekúndur
Óskað eftir: Fjarlægð
Lausn:
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metrar
5. Hlutur sem er varpað upp á við í horni θ = 30 ° við lárétta planið hefur upphafshraða upp á 20 m/s. Þyngdarhröðunin er 10 m/s² . Ákvarðið hámarkshæðina.
Þekkt:
Upphafshraðinn (vo) = 20 m/s
Þyngdarhröðun (g) = 10 m/ s²
Horn (θ) = 30 °
Óskað er eftir : Hámarkshæð
Lausn:
Fyrst skal finna lóðrétta þátt upphafshraðans (v oy ):
v oy = v o sin 30 o = (20)(sin 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
Reiknið út hámarkshæðina. Veljið uppávið sem jákvæða stefnu og niðurávið sem neikvæða.
Þekkt:
Þyngdarhröðun (g) = -10 m/s² ( niður á við, neikvæð )
Lóðréttur þáttur upphafshraðans (voy ) = 10 m/s ( upp á við, jákvætt )
Hraði í hámarkshæð (v ty ) = 0
Óskað er eftir: Hámarkshæð (h)
Lausn:
vt² = v² + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) klst.
0 = 100 – 20 klst.
100 = 20 klukkustundir
klst. = 100/20
h = 5 metrar
Hámarkshæð er 5 metrar.
6. Hlutur er kastað úr ákveðnu hæðarhorni. Hæð hlutarins er sú sama eftir 1 sekúndu og 3 sekúndur. Ákvarðið tímann í lofti.
A. 3.6 sekúndur
B. 4.0 sek.
C. 5.6 sekúndur
D. 6.4 sekúndur
lausn
Tími í lofti = 4 sekúndur.
Rétta svarið er B.
7. Flugvél hreyfist lárétt með hraðanum 50 m/s. Þegar flugvélin er í 2 km hæð getur hlutur fallið frjálslega úr henni. Ákvarðið hvers konar hreyfingu um ræðir.
A. Frjálst fall
B. Fljótandi hreyfing
C. Lárétt hreyfing
D. Hreyfing skotflauga
Lausn:
Hluturinn er sleppt úr hreyfanlegu plani vegna þess að hann hefur sama hraða og hraði plansins, það er 50 m/s. Hreyfing hluta er ekki eins og frjálst fall heldur parabólísk hreyfing. Tilvikið er það sama og þegar þú ert að sleppa hlutum úr bíl á hreyfingu.
Rétta svarið er D.
8. Kúla er kastað lárétt á 15 m/s hraða af kletti sem er 60 metra hár. Hversu langan tíma tekur það hana að lenda á jörðinni?
Lausn: Með því að nota \(h = \frac{1}{2}gt^2 \) finnum við að tíminn er \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).
9. Skot er skotið úr 30° horni yfir láréttu plani með upphafshraða upp á 20 m/s. Hver er hámarkshæðin sem náð er?
Lausn: Með því að nota (h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) er hámarkshæðin (h \approx 10.2 \text{m} \).
10. Steini er kastað lárétt á 10 m/s frá 80 metra háum turni. Finndu lárétta vegalengdina sem hann ferðast áður en hann lendir á jörðinni.
Lausn: Með því að nota tímann sem fundinn er á svipaðan hátt og í dæmi 1, er lárétta fjarlægðin \(d = vt \approx 40\ \text{m} \).
11. Fallbyssukúla er skotin á 40 m/s í 45° horni. Finndu flugtímann.
Lausn: Með því að nota \(t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) er flugtíminn \(t \approx 5.8 \text{s} \).
12. Hafnabolti er kastað í 60° horni með hraðanum 12 m/s. Finndu lárétta svið.
Lausn: Með því að nota \(R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) er bilið \(R \approx 14.0 \ \text{m} \).
13. Skot er skotið á loft með upphafshraða 50 m/s í 37° horni yfir láréttu plani. Hver er lóðrétti hraðaþátturinn?
Lausn: Lóðrétta þátturinn er (v_y = v \sin \theta \approx 30 \text{m/s}).
14. Skot er skotið lárétt á 20 m/s úr 100 metra hæð. Hver er lóðrétti hraðinn rétt áður en það lendir á jörðinni?
Lausn: Með því að nota \(v_y = \sqrt{2gh} \) er lóðrétta hraðinn \(v_y \approx 44.7 \text{m/s} \).
15. Steinn er kastað í 25° horni yfir láréttu plani með upphafshraða 15 m/s. Hverjir eru láréttir og lóðréttir þættir hraðans?
Lausn: Lárétti þátturinn er (v_x = v \cos \theta \approx 13.4 \text{m/s} \) og lóðrétti þátturinn er (v_y \approx 6.4 \text{m/s} \).
16. Knattspyrnu er sparkað með upphafshraða 30 m/s í 40° horni yfir láréttu plani. Hver er lárétti hraðaþáttur hans?
Lausn: Lárétti þátturinn er (v_x = v \cos ≤ 22.9 m/s).
17. Golfkúla er slegin með upphafshraða 70 m/s í 20° horni. Hver er flugtíminn?
Lausn: Með því að nota flugtímajöfnuna er tíminn \(t \approx 4.9\ \text{s} \).
18. Skot er skotið af jörðu með hraðanum 25 m/s í 53° horni yfir láréttu plani. Hver er upphafshraðaþáttur lóðréttrar stöðu þess?
Lausn: Lóðrétta þátturinn er (v_y = v \sin \theta \approx 20 \text{m/s}).
19. Hafnabolti er kastað með upphafshraða 20 m/s í 50° horni. Hver er hámarkshæðin?
Lausn: Með því að nota jöfnuna fyrir hámarkshæð er hæðin (h = 15.3 m).
20. Kúla er skotin lárétt með hraðanum 200 m/s úr 10 metra hæð. Hversu langan tíma tekur hana að lenda á jörðinni?
Lausn: Með því að nota tímajöfnuna er tíminn \(t \approx 1.4\ \text{s} \).
21. Fallbyssukúla er skotin á 45 m/s í 30° horni. Finndu fjarlægðina.
Lausn: Með því að nota bilsjöfnuna er bilið \( R \approx 88.2 \ \text{m} \).
22. Körfubolti er kastað í 75° horni með hraðanum 10 m/s. Finndu lárétta svið.
Lausn: Með því að nota bilsjöfnuna er bilið \( R \approx 5.3 \ \text{m} \).
23. Skot er skotið á loft með upphafshraða 30 m/s í 22° horni yfir láréttu plani. Hver er lóðrétti hraðinn rétt áður en það lendir á jörðinni?
Lausn: Með því að nota jöfnuna fyrir lóðrétta hraðann er lóðrétti hraðinn \( v_y \approx 11.4 \ \text{m/s} \).
24. Steinn er kastað lárétt á 8 m/s frá turni sem er 40 metra hár. Hver er lárétta vegalengdin sem hann ferðast?
Lausn: Með því að nota jöfnuna fyrir lárétta fjarlægð er fjarlægðin \(d \approx 16\ \text{m} \).
25. Knattspyrnu er sparkað með upphafshraða 12 m/s í 30° horni yfir láréttu plani. Hverjir eru láréttir og lóðréttir þættir hraðans?
Lausn: Lárétti þátturinn er (v_x = 10.4 m/s) og lóðrétti þátturinn er (v_y = 6 m/s).
26. Golfkúla er slegin með upphafshraða 50 m/s í 15° horni. Hver er flugtíminn?
Lausn: Með því að nota flugtímajöfnuna er tíminn \(t \approx 2.6\ \text{s} \).
27. Skot er skotið af jörðu með hraðanum 40 m/s í 60° horni yfir láréttu plani. Hver er upphafshraðaþáttur láréttu plansins?
Lausn: Lárétti þátturinn er (v_x = v \cos ≤ 20 m/s).
