Grein um Poiseuilles jöfnuna
Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869) uppgötvaði jafnu Poiseuille. Eins og útskýrt er má líta á hvern vökva sem kjörvökva. Kjörvökvinn hefur ekki seigju. Ef við gerum ráð fyrir að kjörvökvi flæði í pípu, þá hreyfist hver hluti vökvans með sama hraða (v). Ólíkt kjörvökvanum hefur raunverulegur vökvi sem við mætum í daglegu lífi seigju. Vegna þess að hann hefur seigju, þá er hraði hvers hluta vökvans breytilegur þegar hann rennur í pípu, til dæmis. Vökvalagið sem er í miðjunni hreyfist hraðar (djúpt v), en hins vegar hreyfist vökvalagið sem er fest við pípuna ekki (v = 0). Þannig að frá miðjunni að brún pípunnar hreyfist hver hluti vökvans með mismunandi hraða. Til að auðvelda skilninginn skaltu skoða myndina hér að neðan.
R = radíus pípunnar/rörsins
v 1 = vökvaflæði í miðju/rörásnum
v² = vökvaflæðishraði sem er r² frá brún rörsins
v3 = vökvaflæðishraði r3 frá brún rörsins
v 4 = vökvaflæðishraði r 4 frá brún rörsins
r = fjarlægð
Til þess að rennslishraði hvers hluta vökvans sé sá sami þarf að vera þrýstingsmunur í hvorum enda pípunnar eða hvaða slöngu sem vökvinn fer í gegnum. Með vökva er átt við raunverulegan vökva, til dæmis vatn eða olía sem rennur í gegnum pípu, blóð sem rennur í æð, o.s.frv. Auk þess að hjálpa raunverulegum vökva að renna mjúklega getur þrýstingsmunurinn einnig valdið því að vökvarnir flæði í pípum af mismunandi hæð.
Jean Louis Marie Poiseuille, fyrrverandi franskur vísindamaður sem hafði áhuga á eðlisfræðilegum þáttum blóðrásar manna, rannsakaði hvernig þættir eins og þrýstingsmunur, þversnið röra og stærð röra hafa áhrif á raunverulegan vökvahraða. Niðurstöðurnar sem fengust með Jean Louis Marie Poiseuille, þekktar sem Poiseuille-jöfnunin.
Poiseuille-jöfnuna er hægt að leiða út með hjálp seigjustuðulsjöfnu sem hefur verið reiknuð út áður. Við notum seigjustuðulsjöfnuna vegna þess að tilvikin eru svipuð, jafnvel þótt þau séu ekki eins. Þegar við leiðum út seigjustuðulsjöfnuna skoðum við flæði raunverulegs vökvalags milli tveggja samsíða platna og vökvinn getur hreyfst vegna aðdráttaraflsins (F). Munurinn er sá að Poiseuille-jafnan sem við munum leiða út segir til um þá þætti sem hafa áhrif á flæði raunverulegs vökva í rörinu/rörinu og vökvann sem rennur vegna þrýstingsmismunar. Þess vegna þarf að aðlaga seigjustuðulsjöfnuna aftur.
Vökvi getur flætt vegna þrýstingsmunar (vökvi rennur frá stað með miklum þrýstingi til staðar þar sem þrýstingurinn er lágur), þá skiptum við út F fyrir p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Þegar við reiknum út seigjustuðulsjöfnuna skoðum við flæði raunverulegs vökvalags milli tveggja samsíða platna. Hver hluti vökvans breytir reglulegum hraða sínum allt að l. Í þessu tilfelli breytist flæðishraði vökvans reglulega frá ás rörsins að brún rörsins. Vökvinn í ás rörsins rennur með meiri hraða (v). Því meiri brún, því minni er hraði vökvans. Radíus rörsins = fjarlægðin milli ás rörsins og brúnarinnar = R. Fjarlægðin milli hvers hluta vökvans og brúnarinnar = r. Þar sem magn hvers hluta vökvans er gríðarlegt og fjarlægðin frá brún rörsins er einnig mismunandi, þá skrifum við einfaldlega svona:
v 1 = hraði vökvans sem er í fjarlægðinni r 1 frá brún rörsins (r 1 = R)
v² = hraði vökvans sem er í fjarlægð r² frá brún rörsins ( r² < r¹ )
v3 = hraði vökvans í fjarlægð r3 frá brún rörsins ( r3 < r2 < r1 )
v4 = hraði vökvans sem er í fjarlægð r4 frá brún rörsins ( r4 < r3 < r2 < r1 )
……………………………………… ..
v n = hraði vökvans í fjarlægðinni rn frá brún rörsins (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
Magn hvers hluta vökvans er gríðarlegt og við vitum ekki nákvæmlega hversu mikið magnið er í raun og veru, svo það er nóg að skrifa það með tákninu n. Hver hluti vökvans breytir hraða (v) reglulega, frá ás rörsins (r1 = R) að brún rörsins (rn). Frá ás rörsins (r1 = R) að brún rörsins (rn) er hraði hvers hluta vökvans minni (v1 > v2 > v3 > v4 > ….> vn ).
Af ofangreindri útskýringu getum við fengið tölu sem sýnir að frá R til rn minnkar vökvahraðinn. Lengd pípunnar = L. Fengin jafna:
Þar sem við erum að skoða hraði vökvaflæðisins , þá verður jafna 2 :
Þetta er jafna fyrir flæðihraða vökvans í fjarlægðinni r frá pípunni með radíus R. Ef þú ruglast á myndinni hér að ofan ... Athugið að vökvinn rennur í rör, þannig að við þurfum að skoða flæðishraða vökvarúmmálsins.
Inni í rörinu er vökvi. Til dæmis skiptum við vökvanum í smáa hluta, þar sem hver hluti hefur flatarmálseiningu dA, er staðsettur frá ás rörsins og hefur flæðishraða v. Stærðfræðilega má rita þetta á eftirfarandi hátt:
dA1 = vökvahluti 1 , sem er fjarlægð dr1 frá ás rörsins
dA2 = vökvahluti 2 , sem er fjarlægð dr2 frá ás rörsins
dA3 = vökvahluti 3 , sem er fjarlægð dr3 frá ás rörsins
………………………………….
dAn = vökvahluti n, sem er fjarlægðin dn frá ás rörsins
Hluti vökvans er mjög margur, svo það er einfaldlega skrifað með tákninu n, sem gerir það praktískara. Rúmmálsflæði hvers hluta vökvans má skrifa stærðfræðilega á eftirfarandi hátt:
Hver hluti vökvans er í fjarlægð frá r = 0 til r = R (R = radíus rörsins). Með öðrum orðum, fjarlægð hvers hluta vökvans er breytileg þegar hún er mæld frá ás rörsins. Við fáum rúmmálsflæðisjöfnu vökvans í rörinu:
Q = Útrennsli, R = radíus pípu eða slöngu, η = seigjustuðull, P1 – p2 = Þrýstingsmunur milli tveggja enda pípunnar, L = lengd pípunnar, p1 -p2 / L = Þrýstingshalla (vökvaflæði er alltaf í átt að þrýstingsfalli)
Miðað við Poiseuille-jöfnuna hér að ofan virðist rennslishraði vökvarúmmálsins (Q) vera í réttu hlutfalli við radíus rörsins (R4 ) , þrýstingshalla (p2 – p1 / L) og í öfugu hlutfalli við seigjuna. Ef radíus rörsins er bætt við (seigjustuðull og fastur þrýstingshalla) þá eykst rennslishraði vökvans um þáttinn 16.
Í grunnhugmyndinni um hönnun pípa skal nota þessa jöfnu. Vökvaútstreymi er í réttu hlutfalli við R₄ ( R = radíus rörsins). Radíus sprautunnar eða pípufingurna þarf að reikna vandlega út. Til dæmis, ef við tvöföldum radíus nálarinnar (rx₂), þá eykur vökvaútstreymið sem úðast þumalþrýstinginn 16-falt.
Poiseuille-jafnan sýnir einnig að radíusinn (r4 ) er í öfugu hlutfalli við þrýstingsmuninn milli enda pípunnar. Til dæmis rennur blóð fyrst í æð sem hefur innri radíus r. Ef slagæðar þrengjast (t.d. r/2 = radíus æðanna minnkar tvöfalt),
þá þarf 16-faldan þrýstingsmun til að blóðflæði verði eins og áður (þannig að flæðishraðinn sé stöðugur).
