Varðveisla vélrænnar orku – vandamál og lausnir

Varðveisla vélrænnar orku – vandamál og lausnir

1. M-kg blokk losnar úr efri hluta sléttu yfirborðsins. hallandi plan, eins og sýnt er á myndinni hér að neðan. Samanburður á milli þyngdarorkuorku og hreyfiorka blokkarinnar við punkt M er…

lausn

Þyngdarorkuorka í punktinum M:

PE_M = mg (1/3 klst.) = 1/3 mg/klst.

Hreyfiorka í punktinum M:

KE_M = EP = mg (2/3 klst.) = 2/3 mgh

EP_M : EK_M

1/3 mg/h: 2/3 mg/h

1/3 : 2/3

1: 2

2. Skíðamaður sem rennur sér frá hæð A, eins og sýnt er á myndinni hér að neðan. Ef upphafshraðinn = 0 og hröðun vegna þyngdarafls er 10 ms^-2, hver er þá hraði skíðamannsins í punktinum B.

Þekkt:

Upphafshraði (v_o) = 0

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Hæðarbreytingin = 50 metrar – 10 metrar = 40 metrar

Óskað: Hraði skíðamannsins á punkti B

Lausn:

Meginreglan um varðveislu vélrænnar orku segir að upphafsorkan vélræn orka = loka vélræna orkan.

Upphafleg vélræn orka = hugsanleg orka í punkti B (hæð = 40 metrar)

Loka vélræn orka = hreyfiorka í punkti B

Lokavélræn orka = Upphafleg vélræn orka

½ mV_t² = mgh

½ v._t² = gh

½ v._t² = (10)(50-10)

½ v._t² = (10)(40)

½ v._t² = 400

v_t² = (2)(400) = 800

v_t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s

3. Hlutur byrjar að renna frá punkti A án upphafshraðans. Ef enginn núningskraftur er til staðar, hver er þá hraði hlutarins á lægsta punktinum?

Þekkt:

Massi hlutar = m

Upphafshraði (v_o) = 0

Hæð (h) = 20 metrar

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Óskað eftir: Lokahraði (v_t)

Lausn:

Upphafleg vélræn orka (ME₁) = Þyngdarorkuorka í punkti A (PE_A) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m

Loka vélræn orka (ME₂) = hreyfiorka (KE) = ½ mv_t²

Hraði hlutarins á lægsta punkti (v_t)?

Beittu meginreglunni um varðveislu vélrænnar orku þar sem upphafsvélræn orka = lokavélræn orka.

EM1 = EM₂

200 m = ½ mv_t²

200 = ½ rúmmál_t²

400 = v_t²

v_t = 20 m/s

4. 2 kg bolti fellur frjálst frá punkti A, eins og sýnt er á myndinni hér að neðan (g = 10 ms^-2). Eftir að komið er að punkti B er hreyfiorkan = 2 sinnum stöðuorkan. Hver er hæð punkts B yfir yfirborði jarðar?

Þekkt:

Massi kúlu (m) = 2 kg

Þyngdarhröðun (g) = 10 ms^-2

Hæð punkts A (h_A) = 90 metrar

Óskað: Hæð punkts B (h_B)

Lausn:

Þegar kúlan kemur að punkti B er hreyfiorka hennar í punkti B = 2 sinnum þyngdarorkan í punkti B.

EK = 2 EP

½ mV² = 2 mg/h_B

½ v.² = 2 gh_B

v² = 2(2)(10) klst._B

v² = 40 klst._B

Hraði (v) kúlunnar þegar hún kemur að punkti B eftir frjálst fall frá punkti A:

v² = 2 gh = 2(10)(90–klst_B) = 20(90–klst._B)

Varamaður v² við jöfnuna hér að ofan með v² við þessa jöfnu.

v² = 40 klst._B

20(90–klst._B) = 40 klst._B

1800 – 20 klst_B = 40 klst._B

1800 = 40 klukkustundir_B + 20 klst_B

1800 = 60 klukkustundir_B

h_B = 1800/60

h_B = 30 metrar

5. 1 kg kúla losnar og rennur niður frá punkti A til punkts C, eins og sýnt er á myndinni hér að neðan. Ef þyngdarhröðunin er = 10 ms^-2, hver er hreyfiorka boltans þegar hann kemur að punktinum C?

Þekkt:

Massi kúlu (m) = 1 kg

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Hæðarbreytingin (h) = 0.75 m

Upphafleg hugsanleg orka (PE_o) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 joular

Upphafleg hreyfiorka (KE_o) = ½ mV_o² = ½ metri (0)² = 0

Lokaþyngdarorkan (PE)_t) = mgh = mg (0) = 0

Óskað eftir: Hreyfiorka kúlunnar í punktinum C

Lausn:

Upphaflega vélræna orkan (ME_o) = Loka vélræn orka (ME_t)

Upphafleg þyngdarorkuorka (PE_o) + upphafleg hreyfiorka (KE_o) = Lokaorkan fyrir þyngdarkraftinn (PE_t) + lokahreyfiorkan (KE_t)

7.5 Júl + 0 = 0 + KE_t

7.5 Júl = KE_t

Hreyfiorka kúlunnar í punktinum C = 7.5 joule.

6. 2 kg kúla er sleppt frá punkti A, eins og sýnt er á myndinni hér að neðan. Ferilplanið er slétt. Ef þyngdarhröðunin er 10 ms^-2, hver er hreyfiorka kúlunnar í punktinum B?

Þekkt:

Massi kúlu (m) = 2 kg

Þyngdarhröðun (g) = 10 m/s²

Hæðarbreytingin (h) = 120 cm = 1.2 metrar

Upphafleg þyngdarorkuorka (PE_o) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 joular

Upphafleg hreyfiorka (KE_o) = ½ mV_o² = ½ metri (0)² = 0

Lokaþyngdarorkan (PE)_t) = mgh = mg (0) = 0

Óskað eftir: Hreyfiorka kúlunnar í punktinum B

Lausn:

Vélræn orka í punkti A (upphafsvélræn orka) = vélræn orka í punkti B (lokavélræn orka)

Upphaflega vélræna orkan (ME_o) = loka vélræna orkan (ME_t)

Upphafleg þyngdarorkuorka (PE_o) + upphafleg hreyfiorka (KE_o) = loka þyngdarorkan (PE_t) + lokahreyfiorkan (KE_t)

24 Júl + 0 = 0 + KE_t

24 Júl = KE_t

Hreyfiorka (KE) kúlunnar í punktinum C = 24 joule.

7Hlutur hefur fasta vélræna orku, meiri hreyfiorku og minni þyngdarorku. Hluturinn er…

A. Í hvíld

B. færa sig upp á við

C. færa sig niður á við

D. Hraðað upp á við

Lausn:

Hreyfiorkan eykst, sem þýðir að hraði hlutarins eykst og þyngdarorkan er minni, sem þýðir að hæð hlutarins frá jarðvegsyfirborðinu er minni. Þetta gerist þegar hluturinn færist úr ákveðinni hæð niður á jörðina.

Sambandið milli hraða og hreyfiorku er sýnt með hreyfiorkuformúlunni:

KE = ½ mV²

Lýsing á formúlunni: KE = hreyfiorka, m = massi, v = hraði

TSambandið milli hæðar og þyngdarorku er táknað með formúlunni fyrir þyngdarorku:

PE = mgh

Lýsing á formúlunni: PE = þyngdarorkuorka, m = massi, g = þyngdarhröðun, h = hæð

Rétt svar er C.

1. Hvað er vélræn orka?
   • Svar: Vélræn orka er summa hreyfiorku og hugsanlegrar orku hlutar. Hreyfiorka tengist hreyfingu hlutar en hugsanleg orka tengist staðsetningu hans eða lögun.
2. Hvernig segir meginreglan um varðveislu vélrænnar orku?
   • Svar: Meginreglan segir að í einangruðu kerfi þar sem aðeins virkir kraftar verka, helst heildarvélræn orka stöðug. Það þýðir að summa hreyfiorku og hugsanlegrar orku breytist ekki með tímanum.
3. Hvernig hafa varðveitandi og óvarveitandi kraftar áhrif á varðveislu vélrænnar orku?
   • Svar: Varðveitandi kraftar, eins og þyngdarafl, breyta ekki heildarvélrænni orku kerfis. Þeir gætu breytt stöðuorku í hreyfiorku eða öfugt, en summan helst stöðug. Óvarðveitandi kraftar, eins og núningur, geta dreift vélrænni orku, oftast umbreytt henni í varmaorku.
4. Hvers vegna varðveitist vélræn orka ekki í raunverulegum aðstæðum þar sem núningur felur í sér?
   • Svar: Núningur er kraftur sem hefur ekki áhrif á varðveislu. Þegar hlutir færast hver að öðrum breytir núningur hluta af vélrænni orku kerfisins í varmaorku, sem leiðir til lækkunar á heildarvélrænni orku kerfisins.
5. Hvernig er varðveisla vélrænnar orku sýnd fram á í sveiflukenndum pendúl?
   • Svar: Þegar pendúllinn sveiflast upp á við breytist hreyfiorka hans í þyngdarorku þegar hann sveiflast upp á við. Á hæsta punkti sveiflunnar hefur hann hámarksstöðuorku og lágmarks hreyfiorku. Þegar hann sveiflast niður aftur breytist þessi stöðuorka aftur í hreyfiorku. Heildarvélræna orkan helst stöðug, jafnvel þótt orkuformin skiptist á milli.
6. Hvers vegna stöðvast bolti sem hoppar að lokum jafnvel þótt ytri kraftar séu ekki til staðar?
   • Svar: Þegar bolti skoppar breytist ekki öll hreyfiorka hans aftur í stöðuorku. Sum orka tapast, oft sem hljóð eða aflögun boltans, sérstaklega vegna innri núnings í efni boltans. Þetta eru óvarðveislukraftar sem eru að verki og draga úr vélrænni orku boltans með hverju skopp þar til hann stöðvast.
7. Hvar er mesta og lægsta vélræna orkan í rússíbana?
   • Svar: Heildarvélræn orka rússíbana helst stöðug ef við hunsum loftmótstöðu og núning. Hins vegar, á hæsta punkti, er stöðuorkan í hámarki en hreyfiorkan í lágmarki. Þegar rússíbaninn fer niður breytist stöðuorka í hreyfiorku, þannig að á lægsta punkti er hreyfiorkan í hámarki og stöðuorkan í lágmarki.
8. Hvernig hjálpar varðveisla vélrænnar orku við að skilja brautir reikistjarna?
   • Svar: Reikistjörnur sem ganga á braut um stjörnu eins og sólina hafa bæði hreyfiorku (vegna hreyfingar sinnar) og þyngdarorku (vegna stöðu sinnar miðað við sólina). Þegar reikistjarna færist nær sólinni eykst hraða hennar, sem eykur hreyfiorku sína á meðan þyngdarorkan minnkar, og öfugt. Heildarvélræn orka reikistjörnunnar helst stöðug með tímanum, að því gefnu að aðrir kraftar (eins og frá öðrum reikistjörnum) séu hverfandi.
9. Hvers vegna fellur gervihnöttur á stöðugri braut ekki til jarðar?
   • Svar: Þótt gervihnötturinn sé í raun dreginn að jörðinni vegna þyngdaraflsins, þá heldur hreyfiorka hans honum áfram á braut sinni. Jafnvægi þessarar hreyfiorku og þyngdarorku heldur gervihnöttinum á stöðugri braut með stöðugri vélrænni orku.
10. Ef skíðakona byrjar úr kyrrstöðu efst á brekku án núnings og rennur síðan niður, hvernig mun hraði hennar neðst bera sig saman við ef hún byrjaði hálfa leið niður brekkuna?

• Svar: Á núningslausri brekku varðveitist heildarvélorka skíðamannsins. Ef hann byrjar alveg ofan frá hefur hann meiri stöðuorku til að byrja með en ef hann byrjar hálfa leið niður. Þessi stöðuorka breytist að öllu leyti í hreyfiorku þegar hún fer niður. Þannig verður hann hraðari neðst ef hann byrjar efst en ef hann byrjar hálfa leið niður.