Punktmargföldunarefni með því að nota íhluti Einingarvektor
Við getum reiknað skalarmargfeldið beint ef við þekkjum x-, y- og z-hluta vigursins. A Dan B (þekktur vektor).
Til að reikna punktmargfeldi á þennan hátt, gerum við fyrst punktmargfeldi einingarvigranna, og síðan tjáum við vigurinn A Dan B í íhluti sína, sundurliða margföldun hennar og nota margföldun einingavigra hennar.
Einn vektor i, j Dan k hornrétt á hvort annað, sem gerir okkur auðveldara að reikna. Með því að nota margföldunarjöfnuna sem hefur verið útleidd hér að ofan (AB = AB cos frænku) við fáum:
ég . ég = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
ég . j = ég. k = j. k. = (1)(1) cos 90o = 0
Nú tjáum við vigra A og B sem hluti þeirra, sundurliðum margfeldi þeirra og notum margfeldi einingavigranna.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Vegna þess að i . i = j . j = k . k = 1 og i . j = i . k = j . k = 0, þá:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = AxBx (1) + 0 + 0 +
0 + AyBy (1) + 0 +
0+0+ AzBz (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Byggt á niðurstöðum þessarar útreiknings má álykta að skalarmargfeldið eða punktarmargfeldið tveggja vigra sé summa margfelda svipaðra þátta þeirra.
Dæmi um spurningu 1:
Stór vektor A Dan B eru 5 og 4, eins og sést á myndinni hér að neðan. Hornið sem myndast er 90oTeljið það punktavara báðir vektorarnir.
Umræða
Áður en við reiknum punktmargfeldi vigranna A og B þurfum við fyrst að vita hluta seinni vigursins.
Ax = (5) cos 0o = (5) (1) = 5
Ay = (5) sin 0o = (5) (0) = 0
Az = 0
Bx = (4) cos 90o = (4) (0) = 0
By = (4) sin 90o = (4) (1) = 4
Bz = 0
vektor A hefur aðeins vigurþætti á x-ásnum og vigurinn B hefur aðeins vigurþátt á y-ásnum. Z-þátturinn er núll vegna þess að vigurinn A Dan B er í xy-planinu.
Nú reiknum við punktmargfeldið milli vigranna A Dan B með því að nota punktmargfeldisjöfnuna með þáttavektorum:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B= (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B= 0 + 0 + 0
A. B= 0
Við skulum bera það saman við fyrstu aðferðina
AB = AB cos frænku
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Niðurstaðan er sú sama.
Dæmi um spurningu 2:
Stór vektor A Dan B eru 5 og 4, eins og sést á myndinni hér að neðan. Reiknaðu út punktavara báðir vigrarnir, ef hornið sem myndast er 30o
Umræða
Áður en við reiknum punktmargfeldi vigranna A og B þurfum við fyrst að vita hluta seinni vigursins.
z-þátturinn er núll vegna þess að vektorinn A Dan B er í xy-planinu.
Nú reiknum við punktmargfeldið milli vigranna A Dan B með því að nota punktmargfeldisjöfnuna með þáttavektorum:
Berðu saman við fyrstu aðferðina.
