Punktmargföldunarefni með því að nota einingavektorþætti
Við getum reiknað skalarmargfeldið beint ef við þekkjum x-, y- og z-hluta vigranna A og B (þekktu vigranna).
Til að reikna punktmargfeldi á þennan hátt, reiknum við fyrst punktmargfeldi einingavigranna, síðan tjáum við vigra A og B sem hluta þeirra, sundurliðum margfeldið og notum margfeldi einingavigranna.
Einingarvigrarnir i , j og k eru hornréttir hvor á annan, sem gerir útreikningana auðveldari. Með því að nota skalar margföldunarjöfnuna sem við leiddum hér að ofan ( AB = AB cos theta ) fáum við:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nú tjáum við vigra A og B sem hluti þeirra, sundurliðum margfeldi þeirra og notum margfeldi einingavigranna.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Vegna þess að i . i = j . j = k . k = 1 og i . j = i . k = j . k = 0, þá:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay By (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Byggt á niðurstöðum þessarar útreiknings má álykta að skalarmargfeldið eða punktarmargfeldið tveggja vigra sé summa margfelda svipaðra þátta þeirra.
Dæmi um spurningu 1:
Stór vektor A Dan B eru 5 og 4, eins og sést á myndinni hér að neðan. Hornið sem myndast er 90oTeljið það punktavara báðir vektorarnir.
Umræða
Áður en við reiknum punktmargfeldi vigranna A og B þurfum við fyrst að vita hluta seinni vigursins.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Vigur A hefur aðeins vigurþætti á x-ásnum og vigur B hefur aðeins vigurþætti á y-ásnum. Z-þátturinn er núll vegna þess að vigrarnir A og B eru í xy-planinu.
Nú reiknum við punktmargfeldið milli vigra A og B með því að nota punktmargfeldisjöfnuna með þáttvigrum:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Við skulum bera það saman við fyrstu aðferðina
AB = AB kós þeta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Niðurstaðan er sú sama.
Dæmi um spurningu 2:
Stór vektor A Dan B eru 5 og 4, eins og sést á myndinni hér að neðan. Reiknaðu út punktavara báðir vigrarnir, ef hornið sem myndast er 30o
Umræða
Áður en við reiknum punktmargfeldi vigranna A og B þurfum við fyrst að vita hluta seinni vigursins.
z-þátturinn er núll vegna þess að vigrarnir A og B eru í xy-planinu.
Nú reiknum við punktmargfeldið milli vigra A og B með því að nota punktmargfeldisjöfnuna með þáttvigrum:
Berðu saman við fyrstu aðferðina.
