Trapisulaga aðferðin í heildum
Í hagnýtri stærðfræði lendum við oft í því vandamáli að reikna flatarmál undir ferli. Fræðilega séð er hægt að leysa þetta með því að nota ákveðin heildi. Hins vegar er ekki auðvelt að heilda öll föll greinilega í reynd. Sum föll eru flókin, gögn eru aðeins tiltæk í töfluformi eða líkön skortir einfaldar mótleiður. Í slíkum aðstæðum verða tölulegar aðferðir nauðsynlegar. Ein þekktasta og mest notaða tölulega aðferðin er trapisureglan, nálgunaraðferð fyrir heildi sem skiptir flatarmáli undir ferli í trapisulaga form.
Grunnhugtakið um ákveðna heildun
Rúmfræðilega má skilja ákveðna heildið \(\int_a^bf(x)\,dx\) sem flatarmálið sem afmarkast af ferlinum \(y=f(x)\), \(x\) ásnum og lóðréttu línunum \(x=a\) og \(x=b\). Ef \(f(x)\ge 0\) er heildið jákvætt flatarmál. Ef fallið hefur neikvæð gildi á ákveðnu bili gefur heildið „fyrirmyndarflatarmál“.
Helsta vandamálið kemur upp þegar:
1. Fallið \(f(x)\) hefur enga mótafleiðu sem hægt er að tákna með frumföllum.
2. Gildi \(f(x)\) er aðeins þekkt á ákveðnum tímapunktum (tilraunagögn).
3. Táknræn útreikningur er óhagkvæmur eða ómögulegur.
Þetta er þar sem trapisulaga aðferðin er notuð til að nálga heildargildið með því að nota fallgildin í ákveðnum punktum.
Hugmynd að trapisulaga aðferð
Trapisuaðferðin byrjar á einfaldri hugmynd: nálgum feril með beinni línu á hverju undirbili. Þó að Riemann-summuaðferðin noti hornréttar hliðar og rétthyrnt flatarmál, notar trapisuaðferðin tvo endapunkta á undirbilinu og tengir þá saman með beinni línu. Flatarmálið undir beinu línunni myndar trapisu, ekki rétthyrning.
Segjum sem svo að við viljum reikna út:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
Við skiptum bilinu \([a,b]\) í \(n\) jafnlangar undirbil. Lengd hvers undirbils er:
\[
h = \frac{ba}{n}
\]
Skiptingarpunktar:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\punktar,\;x_n=b
\]
Með virknisgildum:
\[
f(x_0), f(x_1), \punktar, f(x_n)
\]
Á hverju undirbili \([x_{i-1}, x_i]\) er flatarmálið undir ferlinum nálgað með flatarmáli trapisunnar:
\[
A_i \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Þá fæst heildarflatarmálið (heildarnálgun) með því að leggja saman alla trapisurnar:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Ef þetta er tilbúið verður formúlan fyrir samsetta trapisulaga regluna:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
Athugið stuðlamynstrið: endapunktarnir \(x_0\) og \(x_n\) eru margfaldaðir með 1, en punktarnir í miðjunni eru margfaldaðir með 2.
Einfalt útreikningsdæmi
Segjum sem svo að við viljum nálgast:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
Greinilega séð er heildið \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\). Hins vegar munum við nota trapisulaga aðferðina með \(n=4\).
1. Bil \([0,2]\), þá:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. Virknisgildi:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5) = 0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5) = 2{,}25\)
\(f(2)=4\)
Notaðu formúluna fyrir samsetta trapisu:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
Áætlaða niðurstaðan, 2,75, er nokkuð nálægt nákvæmu gildinu 2,6667, með skekkju upp á um 0,0833.
Villa í trapisulaga aðferðinni
Trapisulaga aðferðin er nálgun, sem þýðir að það er alltaf munur á nálguninni og raunverulegu heildargildinu. Stærð villunnar er undir áhrifum:
1. Fjöldi undirbila \(n\): því stærra \(n\), því minna \(h\) og almennt því nákvæmari eru niðurstöðurnar.
2. Sveigja fallsins: ef fallið er mjög sveigt (hefur stóra aðra afleiðu) gæti trapisulaga aðferðin verið ónákvæmari en aðferðir af hærri stigi.
Fyrir nægilega sléttar föll (sem hafa samfelldar aðra afleiður) er hægt að áætla villuna í samsettu trapisuaðferðinni:
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f"(\xi)
\]
fyrir einhverja \(\xi\) milli \(a\) og \(b\). Af þessari formúlu má sjá að skekkjan er í réttu hlutfalli við \(h^2\). Það er að segja, ef við helmingum \(h\) (þ.e. tvöföldum fjölda undirbila), þá minnkar skekkjan um það bil fjórðung.
Kostir trapisulaga aðferðarinnar
Trapisulaga aðferðin er vinsæl af nokkrum ástæðum:
1. Einfalt og fljótlegt
Útreikningurinn er tiltölulega auðveldur og jafnvel hægt að gera hann handvirkt í smærri tilfellum.
2. Hentar fyrir töflugögn
Ef gildi \(f(x)\) er aðeins þekkt í stakrænum punktum (t.d. mæliniðurstöðum), er hægt að beita þessari aðferð beint.
3. Betri nákvæmni en rétthyrningsaðferðin
Þar sem það notar tvo endapunkta og nálgar fallið með beinni línu, er það almennt nákvæmara en rétthyrnd nálgun fyrir sama fjölda skiptinga.
4. Stöðugt fyrir margar verkfræðiforrit
Hægt er að nálgast mörg eðlisfræði- og verkfræðivandamál (t.d. útreikning á vinnu, orku, þversniðsflatarmáli, útskrift og svo framvegis) með þessari aðferð.
Takmarkanir trapisulaga aðferðarinnar
Þó að þessi aðferð sé gagnleg hefur hún takmarkanir:
1. Minna nákvæmt fyrir mjög sveigð föll
Þar sem það notar aðeins línulega nálgun á hverju undirbili, þurfa föll með hröðum breytingum eða skörpum ferlum stórt \(n\).
2. Ekki háþróuð aðferð
Villur af stærðargráðunni \(h^2\); aðrar aðferðir eins og aðferð Simpsons geta gefið minni villur yfir sama fjölda undirbila (að því gefnu að fallið sé nægilega slétt).
3. Næmur fyrir vali á millibili
Ef bilið er of breitt og \(n\) er lítið geta niðurstöðurnar vikið verulega frá.
Lokun
Trapisulaga aðferðin við samþættingu er ein af grundvallaraðferðum í tölulegri samþættingu. Með því að skipta bili í smærri hluta og skipta út ferlinum fyrir beina línu í hverjum hluta getum við nálgað heildið án þess að þurfa að finna mótafleiðuna greinilega. Formúlan er einföld, auðveld í framkvæmd og sérstaklega gagnleg þegar gögnin eru stakræn eða erfitt er að samþætta fallið.
Hins vegar þurfa notendur trapisuaðferðarinnar að huga að fjölda undirbila og hegðun fallsins sem verið er að samþætta. Fyrir mjög sveigð föll eða þegar mikil nákvæmni er krafist er samt sem áður hægt að nota trapisuaðferðina með því að auka \(n\), eða aðrar tölulegar aðferðir eins og aðferðir Simpsons eða Rombergs koma til greina. Með góðum skilningi verður trapisuaðferðin áhrifaríkt og hagnýtt tæki til að leysa ýmis heildunarvandamál í vísindum, verkfræði og hagfræði.
