Fylki: Röð og gerðir
Fylki eru grundvallarhugtak í stærðfræði og hafa víðtæka notkun á ýmsum sviðum vísinda, svo sem eðlisfræði, verkfræði, tölvunarfræði og hagfræði. Sem safn talna eða staka sem raðað er í raðir og dálka auðvelda fylki skilvirka og skipulega framsetningu og meðhöndlun gagna. Í þessari grein munum við skoða hugtakið fylki, röð þeirra, ýmsar gerðir og hagnýt notkun þeirra ítarlega.
Að skilja fylki
Fylki er rétthyrnd fylking talna, tákna eða setningar, raðað í raðir og dálka. Algeng táknun fyrir fylki er að nota hástafi eins og A, B eða C. Fylki A með m röðum og n dálkum er venjulega skrifað með táknuninni \(A_{m \times n}\), þar sem \(m\) og \(n\) eru náttúrulegar tölur.
„“
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\
... og ... og ... og ... \\
a_{m1} og a_{m2} og … og a_{mn}
\end{pmatrix}
„“
Hvert stak \(a_{ij}\) í fylki A táknar stakið í i-tu röð og j-tu dálki.
Fylkisröð
Röð fylkis er vídd eða stærð fylkisins, sem gefur til kynna fjölda raða (m) og dálka (n). Röð fylkis A er \(m \times n\). Til dæmis hefur 2×3 fylki tvær raðir og þrjá dálka:
„“
B = \begin{pmatrix}
1 og 2 og 3
4 og 5 og 6
\end{pmatrix}
„“
þar sem röð B er 2 × 3.
Hægt er að flokka fylki frekar eftir röðun þeirra:
– Röðmatrix: Fylki sem hefur aðeins eina röð (\(1 \times n\)). Dæmi: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\).
– Dálkafylki: Fylki sem hefur aðeins einn dálk (\(m \times 1\)). Dæmi: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\).
– Ferningsfylki: Fylkisfylki þar sem fjöldi raða er jafn fjöldi dálka (m=n). Dæmi: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\).
– Rétthyrnt fylki: Fylki sem hefur fjölda raða sem er ekki jafnt fjölda dálka (\(m \neq n\)). Dæmi: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\).
Tegundir fylkja
Auk þess að vera flokkuð eftir röð eru fylki einnig skipt í ýmsar gerðir út frá ákveðnum eiginleikum:
1. Núllfylki
Núllfylki er fylki þar sem öll stök eru núll. Þetta fylki er venjulega táknað með 0. Til dæmis:
„“
\begin{pmatrix}
0 og 0 og 0
0 og 0 og 0
0 og 0 og 0
\end{pmatrix}
„“
2. Skálínufylki
Skálínafylki er ferhyrningsfylki þar sem öll stök utan aðalskálínunnar eru núll. Aðalskálínan er röð þar sem stökin liggja í beinni línu frá efri vinstri til neðri hægri:
„“
\begin{pmatrix}
a_{11} og 0 og 0 \\
0 og a_{22} og 0 \\
0 og 0 og a_{33}
\end{pmatrix}
„“
Tilfelli:
„“
\begin{pmatrix}
5 og 0 og 0
0 og 3 og 0
0 og 0 og 7
\end{pmatrix}
„“
3. Auðkennisfylki
Einkennisfylki er ferhyrningsfylki þar sem aðalhornaskásettin eru 1 og hin stöku settin eru 0. Einkennisfylkið er venjulega táknað með I:
„“
\begin{pmatrix}
1 og 0 og 0
0 og 1 og 0
0 og 0 og 1
\end{pmatrix}
„“
4. Skalar fylki
Skalarfylki er skálínufylki þar sem öll stökin á aðalskálínunni eru með sama skalartölu. Ef öll skálínustökin eru k, þá er skalarfylkið skrifað sem:
„“
\begin{pmatrix}
k & 0 & 0 \\
0 og k og 0 \\
0 og 0 og k
\end{pmatrix}
„“
5. Samhverf fylki
Samhverft fylki er ferhyrnt fylki þar sem stökin eru samhverf um aðalhornalínuna. Þetta þýðir að \(a_{ij} = a_{ji}\):
„“
\begin{pmatrix}
a B C \\
b & d & e \\
c & e & f
\end{pmatrix}
„“
Tilfelli:
„“
\begin{pmatrix}
1 og 2 og 3
2 og 4 og 5
3 og 5 og 6
\end{pmatrix}
„“
6. Þríhyrningslaga fylki
– Efri þríhyrningsfylki: Ferningsfylki þar sem öll stök fyrir neðan aðalhornalínuna eru núll.
„“
\begin{pmatrix}
a_{11} og a_{12} og a_{13} \\
0 og a_{22} og a_{23} \\
0 og 0 og a_{33}
\end{pmatrix}
„“
– Neðri þríhyrningsfylki: Ferningsfylki þar sem öll stök fyrir ofan aðalhornalínuna eru núll.
„“
\begin{pmatrix}
a_{11} og 0 og 0 \\
a_{21} og a_{22} og 0 \\
a_{31} og a_{32} og a_{33}
\end{pmatrix}
„“
7. Rétthornsfylki
Rétthornsfylki er ferhyrnt fylki þar sem raðir (eða dálkar) eru rétthornsbundnar hver við aðra og hafa norm (vigurlengd) upp á einn. Meginskilyrðið er að \(A \cdot A^T = I\), þar sem \(A^T\) er umritun A og I er einingarfylkið. Til dæmis:
„“
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} og \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} og \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
„“
8. Obertogonal fylki
Líkt og rétthyrnd fylki er rétthyrnd fylki ferkantað fylki þar sem raðir (eða dálkar) eru rétthyrndar hver gagnvart annarri. Meginkrafan er að \(A \cdot A^T = I\), þar sem \(A^T\) er umbreyting A og I er einingarfylkið.
Matrix forrit
Fylki hafa víðtæka notkun í vísindum og tækni:
1. Línuleg jöfnukerfi
Í línulegri algebru eru fylki notuð til að tákna og leysa kerfi línulegra jöfnna með mikilli skilvirkni.
2. Gröf og net
Í graffræði eru fylki notuð til að tákna tengslin milli hnútpunkta og brúna í grafi, til dæmis aðlægingarfylkið.
3. Rúmfræðileg umbreyting
Fylki eru grundvallaratriði í rúmfræðilegum umbreytingum eins og snúningi, speglun, stigstærð og hliðrun í tví- eða þrívíðu rúmi.
4. Vélanám og gagnavísindi
Fylki eru notuð til að meðhöndla og greina gögn í vélanámi, þar á meðal línulegum jöfnum, tölfræði og vigurútreikningum.
5. Myndvinnsla
Í myndvinnslu tákna fylki myndpixla og eru notuð í ýmsum reikniritum til að bæta, sía og vinna með myndir.
Niðurstaða
Góð skilningur á fylkjum, röðum þeirra og gerðum er nauðsynlegur grunnur á mörgum sviðum vísinda. Frá lausnum á línulegum jöfnukerfum til notkunar í vélanámi og myndvinnslu, halda fylki áfram að vera ómissandi tæki til að leysa flókin vandamál. Þar sem tækni og reikniaðferðir halda áfram að þróast mun notkun fylkja aukast og þróast með tímanum.
