Einföld gagnafjórðungatölur: Ítarleg skilningur á gagnaskiptingu í tölfræði
Eitt af grundvallarhugtökum í tölfræði er að skipta gögnum í fjórðunga. Fjórðungar eru notaðir til að skilja gagnadreifingu nánar en að skoða bara miðgildi eða meðaltal. Í þessari grein munum við ræða fjórðunga úr einu gagnasafni, hvernig á að reikna þá út og notkun þeirra í ýmsum gagnagreiningarsamhengjum.
Hvað er fjórðungur?
Fjórðungsgildi eru tiltekin gildi sem skipta flokkuðum gögnum í fjóra jafna hluta. Einfaldlega sagt eru fjórðungsgildi hópar af flokkuðum gögnum þar sem hvert fjórðungsgildi nær yfir um það bil 25% af gögnunum.
Fjórðungskvarðarnir samanstanda af þremur meginmerkjum:
1. Fyrsti fjórðungur (Q1): skiptir neðstu 25% gagnanna frá hinum.
2. Annar fjórðungur (Q2) eða miðgildi: skiptir gögnunum í tvo jafna hluta, 50% gagnanna eru undir þessu gildi og 50% eru yfir þessu gildi.
3. Þriðji fjórðungur (Q3): aðskilur efstu 25% gagnanna frá hinum.
Hvert fjórðungur þjónar sem framsetning á tilteknum hluta gagnasafnsins og hefur fjölbreytt notkunarsvið, allt frá lýsingu gagna til greiningar á útlægum gildum.
Hvernig á að reikna út fjórðunga
Til að reikna út fjórðungsgildi er fyrsta skrefið að raða gögnunum í hækkandi röð. Við skulum skoða nánari skref til að reikna út fjórðungsgildi á einu gagnasafni:
Röðun gagna
Segjum sem svo að við höfum eftirfarandi gagnasafn:
7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49
Fyrsta skrefið er að ganga úr skugga um að gögnin séu flokkuð:
7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49
Að ákvarða fjórðungsstöðu
Næst ákvörðum við fjórðungsstöðurnar. Fyrir gagnasafn af stærð \(N \):
– Staða Q1 = (N+1)/4)
– Staða Q2 = (N+1)/2)
– Staða Q3 = ∫(3(N+1)/∫4)
Fyrir gagnasafn okkar (N = 10):
– Staða Q1 = (10+1)/4 = 2.75)
– Staða Q2 = (10+1)/2 = 5.5)
– Staða Q3 = ∫(3(10+1)/∫4 = 8.25)
Interpolating Quartiles
Ef fjórðungsstaðan er tugabrot, þá gerum við innsetningu á milli tveggja aðliggjandi gagnagilda.
– 1. fjórðungur (staða 2.75):
Sameina gagnagildin í 2. sæti `15` og 3. sæti `36`.
Q1 = 15 + 0.75 (36 – 15) = 15 + 0.75 21 = 15 + 15.75 = 30.75
– 2. ársfjórðungur (miðgildi í sæti 5.5):
Sameina gagnagildin í 5. sæti `40` og 6. sæti `41`.
Q2 = 40 + 0.5 (41 – 40) = 40 + 0.5 1 = 40.5
– 3. fjórðungur (staða 8.25):
Sameina gagnagildin í 8. sæti `43` og 9. sæti `47`.
Q3 = 43 + 0.25 (47 – 43) = 43 + 0.25 4 = 43 + 1 = 44
Þannig eru fjórðungstölur gagnasafnsins okkar:
– 1. fjórðungur = 30.75
– 2. fjórðungur = 40.5
– 3. fjórðungur = 44
Umsókn um fjórðungsfjórðung
Tölfræðileg lýsing
Fjórðungstölur eru notaðar sem hluti af tölfræðilegum lýsingum til að gefa almenna yfirsýn yfir gagnadreifingu. Þekking á fjórðungstölunum gerir okkur kleift að skilja betur samræmi, samhverfu og útbreiðslu gagna.
Útlægar greiningar
Fjórðungsgildi eru einnig mjög gagnleg til að bera kennsl á útlæga þætti. Útlægir þættir eru gagnagildi sem eru langt frá meirihluta gagnasafnsins. Til að greina útlæga þætti er aðferðin „Interquartile Range (IQR)“ venjulega notuð.
IQR er reiknað sem mismunurinn á milli 3. og 1. ársfjórðungs:
\[ \text{IQR} = Q3 – Q1 \]
Gagnagildi teljast útlæg ef þau eru undir \( Q1-1.5 \times \text{IQR} \) eða yfir \( Q3 + 1.5 \times \text{IQR} \).
Í gagnasafninu hér að ofan:
– IQR = 44 – 30.75 = 13.25
– Neðri mörk fyrir útlæga gildi = Q1 – 1.5 IQR = 30.75 – 1.5 13.25 = 30.75 – 19.875 = 10.875
– Efri mörk fyrir útlæga gildi = Q3 + 1.5 IQR = 44 + 1.5 13.25 = 44 + 19.875 = 63.875
Þannig eru gagnagildi undir 10.875 eða yfir 63.875 talin vera útlæg gildi. Þar sem gagnasafn okkar fellur innan þess bils eru engin útlæg gildi.
Flókin gagnameðhöndlun
Auk þess að vera notað í einföldum gögnum er einnig hægt að nota fjórðungstölur á flóknari gagnasöfn. Í fjármálagreiningu geta fjórðungstölur til dæmis hjálpað til við að bera kennsl á frammistöðu tiltekins hlutabréfs á markaðnum. Í menntun er hægt að nota fjórðungstölur til að bera kennsl á námsárangur nemenda í tilteknu prófi.
Box plot
Eitt sjónrænt tól sem notar fjórðunga er kassagraf eða Tukey kassagraf. Kassagraf veitir grafíska framsetningu á fimm mikilvægum samantektum í gögnunum: lágmarksgildi, fyrsta fjórðung (Q1), miðgildi (Q2), þriðja fjórðung (Q3) og hámarksgildi. Einföld leið til að greina útlæg gildi er að nota kassagraf, þar sem útlæg gildi eru venjulega sýnd sem punktar utan „víddarlínanna“ (skyggðu línurnar milli lágmarksins, Q1, Q3 og hámarksins).
Niðurstaða
Að reikna út og skilja fjórðungstölur í einu gagnasafni veitir dýpri innsýn í gagnauppbyggingu, dreifingu hennar og tilvist eða fjarveru útlægra gilda. Í fjölbreyttum tilgangi, allt frá einföldum tölfræðilegum lýsingum til flóknari greininga eins og greiningar á útlægum gildum og notkun kassamynda, gegna fjórðungstölur lykilhlutverki í gagnagreiningu og túlkun. Með þessu tóli verður gagnagreining kerfisbundnari og upplýsandi, sem ryður brautina fyrir dýpri innsýn og marktækari uppgötvanir á ýmsum sviðum rannsókna. Fjórðungstölur auðvelda ekki aðeins tölfræðilegar lýsingar heldur veita einnig mikilvæga innsýn sem er nauðsynleg fyrir gagnadrifna ákvarðanatöku.
Góð skilningur á fjórðungsstuðlum og hvernig þeim er beitt í gagnagreiningu er verðmæt færni sem hægt er að tileinka sér í fjölbreyttum hagnýtum samhengi, allt frá rannsóknum til viðskipta, og gerir okkur klárari í að greina og túlka gögn.
