Inndælingar-, umsögnar- og bjögunarföll
Í stærðfræði, sérstaklega í fallfræði, eru þrjár mikilvægar gerðir falla sem oft eru ræddar: innspýtingarfall, yfirsnúningsfall og tvísnúningsfall. Hver þessara þriggja gerða falla hefur einstaka eiginleika sem ákvarða hvernig stök úr upprunamenginu (léni) eru vörpuð á stök í markmenginu (svið eða samléni). Þessi grein mun lýsa skilgreiningu, eiginleikum og dæmum á hverju þessara falla, sem og notkun þeirra á ýmsum sviðum.
Inndælingarvirkni
Innspýtingarfall, einnig þekkt sem einn-á-einn fall, er fall þar sem hvert stak í upprunamenginu er varpað á einstakt stak í áfangamenginu. Í formlegri mynd er fall \(f: A \to B \) kallað innspýtingarfall ef og aðeins ef fyrir hvert \(a_1, a_2 \in A \), \(f(a_1) = f(a_2) \) gefur til kynna að \(a_1 = a_2 \).
Innsæislega séð tryggir innspýtingarfall að engin tvö aðskilin frumstak í upprunamenginu hafi sömu mynd í áfangamenginu. Með öðrum orðum, hvert stak í áfangamenginu hefur í mesta lagi eitt frumstak sem tengist því.
Dæmi:
– Skoðum fallið \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) sem er skilgreint sem \(f(x) = 2x + 3 \). Þetta fall er stungufall því ef \(f(a) = f(b) \), þá er \(2a + 3 = 2b + 3 \), sem gefur til kynna \(a = b \).
Notkun:
Inndælingarföll eru oft notuð í samhengi þar sem við þurfum að tryggja að engin tvítekningar eigi sér stað, eins og í flokkun eða kóðun.
Sugrænt fall
Súlíkt fall, eða átfall, er fall þar sem hvert stak í áfangamenginu B hefur að minnsta kosti eitt stak úr upprunamenginu A sem varpast á það. Í formlegri táknfræði er fall f: A til B kallað súlíkt ef fyrir hvert b í B er til að minnsta kosti eitt a í A þannig að f(a) = b).
Með öðrum orðum, súrjektívfallið tryggir að áfangastaðasafnið sé alveg hulið af mynd upprunasafniðs. Ekkert stak í áfangastaðasafnið er „hulið“.
Dæmi:
– Skoðum fallið \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) sem er skilgreint sem \(f(x) = x^3 \). Þetta fall er surjektívt því fyrir hvert \(y \in \mathbb{R} \) getum við fundið \(x \in \mathbb{R} \) þannig að \(x^3 = y \).
Notkun:
Lýsingarföll eru mikið notuð í samhengi við dreifingu eða úthlutun auðlinda, þar sem við þurfum að tryggja að hver viðtakandi fái eitthvað frá hópi gefenda.
Viðhengisfall
Tvívirkt fall er fall sem er bæði innspýtingarfall og surjektieft. Með öðrum orðum, tvívirkt fall er bæði einn-á-einn og á. Þannig, í tvívirku falli, er hvert stak í upprunamenginu einstakt varpað á stak í áfangamenginu, og öfugt, hvert stak í áfangamenginu hefur nákvæmlega eitt stak sem varpað á það frá upprunamenginu.
Dæmi:
– Skoðum fallið \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) sem er skilgreint sem \(f(x) = x + 1 \). Þetta fall er tvíhliða vegna þess að:
– Inndælingarfall: Ef \( f(a) = f(b) \), þá þýðir \( a + 1 = b + 1 \), \( a = b \).
– Yfirlýsing: Fyrir hvert \(y \in \mathbb{R} \) getum við fundið \(x = y - 1 \) þannig að \(f(x) = y \).
Notkun:
Tvívirk föll eru sérstaklega mikilvæg í samhengi umbreytinga og ísómorfisma, þar sem við þurfum að varðveita uppbyggingu eða tengsl milli staka þegar varpað er úr einu mengi í annað. Til dæmis, í dulritun, eru dulkóðunar- og afkóðunarlyklar oft tvívirk föll svo að hægt sé að dulkóða og afkóða skilaboð á einstakan hátt.
Frekari greining
Grafík og skýringarmyndir
Það er oft gagnlegt að nota Venn-myndrit eða gröf til að skilja þessi föll. Í Venn-myndriti er hægt að lýsa inndælingarfalli þannig að hvert stak í áfangastaðsmenginu hefur að hámarki eina innkomandi ör. Súlíkt fall er hægt að lýsa þannig að hvert stak í áfangastaðsmenginu hefur að minnsta kosti eina innkomandi ör. Í tvíhliða falli er hvert stak í uppruna- og áfangastaðsmengjunum með nákvæmlega eina innkomandi ör hvor, sem skapar einn-á-einn samsvörun.
Öfugt fall
Annar mikilvægur þáttur sem oft er rannsakaður í samhengi við inndælingar-, yfirlögningar- og hjáleiðsluföll er andhverfa fallið.
– Inndælingarfall hefur alltaf andhverft vinstri fall.
– Súlíkt fall hefur alltaf hægri andhverft fall.
– Viðmiðunarfall hefur alltaf einkvæmt öfugt fall.
Ef fall er tvíhverft, þá munu bæði vinstri og hægri andhverfur vera til og báðar verða jafnar, sem myndar hið sanna andhverfa fall.
Lokun
Að skilja hugtökin innspýtingarföll, yfirsetningarföll og tvísetningarföll er grundvallaratriði í mörgum greinum stærðfræðinnar og hagnýtri notkun þeirra. Innspýtingarföll tryggja enga tvítekningu; yfirsetningarföll tryggja fulla þekju; og tvísetningarföll tryggja eins-á-einn samsvörun milli staka í tveimur mengjum. Þekking á þessum þremur gerðum falla er mikilvæg ekki aðeins í hreinni stærðfræði heldur einnig á sviðum eins og tölvunarfræði, hagfræði og verkfræði. Ítarlegur skilningur á virkni og notkun þessara falla getur opnað dyrnar að skilvirkari og skilvirkari greiningu og lausn vandamála.
