Föll og óföll: Að skilja hugtök í stærðfræði
Í stærðfræði rekumst við oft á abstrakt hugtök sem krefjast ítarlegrar skilnings. Eitt slíkt grundvallarhugtak en mikilvægt er „fall“. Þetta hugtak er ekki aðeins ríkjandi í stærðfræði heldur einnig að finna á ýmsum sviðum eins og eðlisfræði, tölvunarfræði og hagfræði. Hins vegar kemur oft upp ruglingur þegar greint er á milli falla og annarra falla. Þessi grein fjallar ítarlega um hvað fall er, eiginleika þess og hvernig á að greina það frá öðrum fallum.
Hvað er fall?
Einfaldlega sagt er fall samband sem tengir hvert stak í einu mengi við nákvæmlega eitt stak í öðru mengi. Við skulum skoða formlega skilgreiningu þess:
Formleg skilgreining á virkni:
Fall f frá mengi A til mengis B er regla sem tengir hvert stak í A við nákvæmlega eitt stak í B. Það er skrifað sem \( f : A \rightarrow B \).
Með öðrum orðum, ef við höfum tvö mismunandi stök í mengi A, þá mega þau ekki tengjast sama staki í mengi B.
Einfalt dæmi um fall er líkamshiti einstaklings (svið/mengi A) og mæling hans í gráðum á Celsíus (svið/mengi B). Hver einstaklingur tengist einu líkamshitagildi. Í þessari samlíkingu tengir fallið því einstaklinga (sviðsþætti) við líkamshitagildi (samsviðsþætti).
Virknieiginleikar
Til að skilja þetta hugtak eru nokkrir sértækir eiginleikar sem tengsl verða að uppfylla til að teljast fall:
1. Tengsl milli mengja:
Fall verður að tengja hvert stak í léninu (upprunamengi) við nákvæmlega eitt stak í samléninu (markmengi). Ef stak í léninu er tengt fleiri en einu staki í samléninu, þá er það ekki fall.
2. Einkenni:
Stak í léninu getur aðeins tengst einu gildi í samléninu. Til dæmis, ef f(a) = 3 og f(a) = 5 á sama tíma, þá er f ekki fall.
3. Lénið er ekki tómt:
Í falli verður hvert stak í léninu að hafa hliðstæðu í kóléninu, sem þýðir að lénið getur ekki verið tómt.
Ekki fall
Tengsl sem uppfylla ekki ofangreind þrjú einkenni eru sögð vera óvirk. Til að skilja þetta betur skulum við skoða nokkur raunveruleg dæmi.
1. Eitt frumefni í léninu er tengt fleiri en einu frumefni í samléninu:
Til dæmis, ímyndum okkur að við höfum tengsl þar sem nemendur (svið) eru tengdir prófskorum sínum (samsviði). Ef nemandi getur fengið fleiri en eina einkunn í einu prófi (t.d. 75 og 90 í sama prófi), þá er þetta samband ekki fall.
2. Ekki eru öll lénsþættir með par:
Eins og áður hefur komið fram, í falli verða öll stök lénsins að hafa hliðstæðu í samléninu. Ef eitthvert stök hefur ekki hliðstæðu, þá er sambandið ekki fall.
Hvers vegna er mikilvægt að skilja virkni?
Djúp skilningur á þessum föllum er ekki aðeins mikilvægur í hreinni stærðfræði heldur einnig í notkun á ýmsum öðrum sviðum:
1. Tölvunarfræði:
Föll eru grunnurinn að forritun, þau verkfæri sem við notum til að smíða skipulögð reiknirit. Útfærsla á föllum gerir okkur kleift að skrifa mátbundnari og auðveldari kóða.
2. Eðlisfræði:
Margar náttúrufastar og eðlisfræðilögmál eru tjáð sem föll. Til dæmis er hægt að tjá kælingarlögmál Newtons sem fall af hitastigi á móti tíma.
3. Efnahagsmál:
Föll eru notuð í hagfræðilíkönum til að spá fyrir um tengslin milli ýmissa breyta eins og tekna og neyslu.
Fallframsetning
Hægt er að tákna virkni á ýmsa vegu, allt eftir þörfum og samhengi:
1. Tafla:
Föll geta verið táknuð með töflum sem sýna pör af léns- og samlénsþáttum. Til dæmis tafla sem sýnir daglegt hitastig (lén) og fjölda seldra ískegla (samlén).
2. Graf:
Fallgraf eru ein áhrifaríkasta leiðin til að tákna föll. Á grafi er lénslíkanið oft táknað með x-ásnum og samlénslíkanið með y-ásnum. Fall er graf sem stenst lóðrétta línuprófið - það er að segja, hver lóðrétt lína sker grafið í nákvæmlega einum punkti.
3. Jafna:
Algebruleg form falls er algengasta leiðin í stærðfræði til að tákna fall. Til dæmis línulega fallið \(f(x) = mx + c \) eða annars stigs fallið \(f(x) = ax^2 + bx + c \).
Dæmi um föll og ekki-föll
Við skulum skoða nokkur dæmi til að skýra skilning okkar á föllum:
Dæmi 1:
– Fall: Við höfum mengi A = {1, 2, 3} og mengi B = {4, 5, 6}. Fallið \(f \) skilgreinir að \(f(1) = 4 \), \(f(2) = 5 \) og \(f(3) = 6 \).
– Ekki fall: Ef \(f \) skilgreinir að \(f(1) = 4 \) og \(f(1) = 5 \), þá er þessi tenging greinilega ekki fall því eitt stak í léninu er tengt fleiri en einu staki í samléninu.
Dæmi 2:
– Fall: Nemandi (lén) er tengdur prófskori hans (samlén).
– Ekki fall: Sami nemandi getur ekki fengið tvær mismunandi einkunnir í sama prófi. Ef einkunnirnar eru tvær er sambandið ekki fall.
Niðurstaða
Miðað við útskýringuna hér að ofan sjáum við að fall er grundvallarhugtak í stærðfræði sem finnur fjölmargar notkunarmöguleika í ýmsum fræðigreinum. Fall tengir hvert stak í lénsmenginu við nákvæmlega eitt stak í samlénsmenginu. Ef tengsl uppfylla ekki þessa eiginleika er það ekki fall. Að skilja muninn á falli og ekki-falli veitir traustan grunn fyrir frekari stærðfræðinám og hagnýt notkun í daglegu lífi.
