Dæmi um spurningar um lögmál Kirchoffs
Lögmál Kirchhoffs eru nauðsynlegur grunnur í greiningu rafrása, sérstaklega þegar ekki er hægt að leysa rásina með því að nota lögmál Ohms eingöngu. Í raunveruleikanum samanstanda rafrásir oft af mörgum greinum, nokkrum spennugjöfum og nokkrum samtengdum viðnámum. Þetta er þar sem lögmál Kirchhoffs hjálpa okkur að reikna kerfisbundið út straum, spennu og stefnu straumflæðis í hverri grein rásarinnar. Þessi grein fjallar um samantekt á hugtökum Kirchhoffs-lögmálsins og nokkur algeng dæmi um vandamál, ásamt lausnarskrefum til að auðvelda skilning.
Að kynnast lögmáli Kirchhoffs
Almennt eru tvær Kirchhoff-lögmál sem eru oftast notuð:
1. Lögmál Kirchhoffs I (KCL – Núverandi lögmál Kirchhoffs)
Einfaldlega sagt: summa strauma sem koma inn í hnút er jöfn summu strauma sem fara út úr þeim hnút.
Stærðfræðilega:
\[
\summa I_{inn} = \summa I_{út}
\]
eða það má líka skrifa það:
\[
\summa I = 0
\]
með jákvæðu formerki fyrir innkomandi straum og neikvæðu formerki fyrir útgående straum (samkvæmt þeirri venju sem notuð er).
2. Lögmál Kirchhoffs II (KVL – Spennulögmál Kirchhoffs)
Einfaldlega sagt: algebruleg summa spennanna í lokaðri lykkju er jöfn núlli.
Stærðfræðilega:
\[
\summa V = 0
\]
Þetta þýðir að heildarspennuaukningin (t.d. frá rafhlöðunni) er jöfn heildarspennufallinu (yfir viðnámið eða annan íhlut) í lykkjunni.
Þessi tvö lögmál eru oft notuð saman: KCL til að greina hnúta og KVL til að greina lykkjur (möskva).
-
Dæmispurning 1 (KCL): Straumur við hnút
Spurning:
Í hnút eru þrír innkomandi straumar, þ.e. \(I_1 = 2A\), \(I_2 = 3A\) og \(I_3 = 1A\). Frá hnútnum fara tveir straumar út, þ.e. \(I_4\) og \(I_5 = 4A\). Ákvarðið gildi \(I_4\).
Lausn:
Notaðu fyrsta lögmál Kirchhoffs:
\[
Ég_{inn} = Ég_{út}
\]
Innstreymi:
\[
I_1 + I_2 + I_3 = 2 + 3 + 1 = 6A
\]
Útstreymi:
\[
I_4 + I_5 = I_4 + 4
\]
Svo:
\[
6 = I_4 + 4
\Hægri ör I_4 = 2A
\]
Svar: \(I_4 = 2A\)
-
Dæmi 2 (KVL): Einföld lykkja með raðviðnámum
Spurning:
Einlykkjurás samanstendur af 12 V rafhlöðu og tveimur raðtengdum viðnámum (R_1 = 2Ω) og (R_2 = 4Ω). Ákvarðið straum rásarinnar og spennufallið yfir hvert viðnám.
Lausn:
Vegna viðnáma í einni lykkju og í raðtengingu er straumurinn sá sami í öllum íhlutum.
Heildarviðnám:
\[
R_{samtals} = R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6\Omega
\]
Rásstraumur:
\[
I = \frac{V}{R} = \frac{12}{6} = 2A
\]
Spennufall yfir \(R_1\):
\[
V_1 = I ⋅ R_1 = 2 ⋅ 2 = 4V
\]
Spennufall yfir \(R_2\):
\[
V_2 = I ⋅ R_2 = 2 ⋅ 4 = 8V
\]
Athugaðu KVL:
\[
12 – 4 – 8 = 0
\]
Í samræmi við.
Svar: \(I = 2A\), \(V_1 = 4V\), \(V_2 = 8V\)
-
Dæmi 3 (KVL): Tvær lykkjur (möskvaaðferð)
Spurning:
Þetta er tveggja lykkja rás. Vinstri lykkjan hefur spennugjafa (V_1 = 10V) og viðnám (R_1 = 2Ω). Hægri lykkjan hefur spennugjafa (V_2 = 5V) og viðnám (R_2 = 3Ω). Báðar lykkjurnar deila miðjuviðnámi (R_3 = 4Ω). Ákvarðið möskvastraumana (I_a) (vinstri lykkja) og (I_b) (hægri lykkja).
Lausn:
Gerum ráð fyrir að möskvastraumar \(I_a\) og \(I_b\) séu réttsælis. Straumurinn í sameiginlega viðnáminu \(R_3\) er \(I_a – I_b\) (fer eftir stefnu forsendunnar).
Vinstri lykkju KVL jafna:
\[
10 – (2I_a) – 4(I_a – I_b) = 0
\]
\[
10 – 2I_a – 4I_a + 4I_b = 0
\Hægri ör 10 – 6I_a + 4I_b = 0
\Hægri ör 6I_a – 4I_b = 10
\]
KVL jafna fyrir hægri lykkju:
\[
5 – (3I_b) – 4(I_b – I_a) = 0
\]
\[
5 – 3I_b – 4I_b + 4I_a = 0
\Hægri ör 5 + 4I_a – 7I_b = 0
\Hægri ör 4I_a – 7I_b = -5
\]
Ljúktu við kerfið:
1) \(6I_a – 4I_b = 10\)
2) \(4I_a – 7I_b = -5\)
Margfaldaðu jöfnu (1) með 2:
\[
12I_a – 8I_b = 20
\]
Margfaldaðu jöfnu (2) með 3:
\[
12I_a – 21I_b = -15
\]
Draga frá:
\[
(12I_a – 8I_b) – (12I_a – 21I_b) = 20 – (-15)
\Hægri ör 13I_b = 35
\Rightarrow I_b = \frac{35}{13} \approx 2.69A
\]
Setjið inn í jöfnu (1):
\[
6I_a – 4(2.69) = 10
\Hægri ör 6I_a – 10.76 = 10
\Hægri ör 6I_a = 20.76
\Hægri ör I_a \u.þ.b. 3.46A
\]
Svar: \(I_a \u.þ.b. 3.46A\), \(I_b \u.þ.b. 2.69A\)
-
Dæmispurning 4 (KCL + KVL): Samsíða greinarrás
Spurning:
12 V spennugjafi er tengdur við tvær samsíða greinar. Grein 1 inniheldur \(R_1 = 6\Omega\), grein 2 inniheldur \(R_2 = 3\Omega\). Ákvarðið strauminn í hverri grein og heildarstrauminn.
Lausn:
Þar sem það er samsíða er spennan á hvorri grein sú sama, þ.e. 12 V.
Útibú núverandi 1:
\[
I_1 = \frac{12}{6} = 2A
\]
Útibú núverandi 2:
\[
I_2 = \frac{12}{3} = 4A
\]
Með KCL við hnútpunktana:
\[
I_{samtals} = I_1 + I_2 = 2 + 4 = 6A
\]
Svar: \(I_1 = 2A\), \(I_2 = 4A\), \(I_{samtals} = 6A\)
-
Ráð til að leysa vandamál með lögmáli Kirchhoffs
1. Ákvarðið fyrst straumstefnuna. Ef straumniðurstaðan er neikvæð þýðir það að raunveruleg stefna er öfug miðað við forsendu.
2. Verið samkvæm með (+) og (-) merkin þegar þið skrifið KVL. Spennuaukning frá spennugjafa er venjulega talin jákvæð, en spennufall yfir viðnám er neikvætt (fer eftir stefnu lykkjunnar).
3. Einfaldaðu rafrásina ef mögulegt er, til dæmis sameinaðu viðnám í raðtengingu eða samsíðatengingu áður en Kirchhoff er notað.
4. Notið kerfisbundnar aðferðir: hnútagreiningu fyrir KCL eða möskvagreiningu fyrir KVL.
-
Lokun
Lögmál Kirchhoffs hjálpa til við að leysa flóknar rafrásir á skipulegan hátt. Með því að ná góðum tökum á KCL og KVL er hægt að ákvarða strauminn í hverri grein, spennufallið yfir íhluti og skilja heildarhegðun rafrásarinnar. Dæmin hér að ofan sýna að lykilatriðið er að búa til réttar jöfnur og leysa þær vandlega. Með tíðri æfingu verður auðveldara að þekkja mynstrin, jafnvel fyrir flóknari rafrásir.
Ef þú vilt get ég búið til 10 æfingaspurningar til viðbótar (án umræðu eða með fullri umræðu), eða skrifað útgáfu með rafrásarmyndum í ítarlegri lýsingu.
