Stærðfræðileg útvíkkun: Að breyta stærð án þess að breyta lögun
Pendahuluan
Í stærðfræði gegnir hugtakið útvíkkun lykilhlutverki, sérstaklega í rúmfræði. Útvíkkun, eða hlutfallsleg umbreyting, er ferlið við að stækka eða minnka hlut án þess að breyta upprunalegri lögun hans. Þetta ferli felur í sér að nota ákveðinn kvarða til að stækka eða minnka allan hlutinn hlutfallslega. Þessi grein mun skoða hugtakið, notkun og dæmi um útvíkkun í stærðfræði ítarlega.
Skilgreiningar og lykilhugtök
Útvíkkun er tegund rúmfræðilegrar umbreytingar sem breytir stærð forma út frá kvarðastuðli, en viðheldur samt líkindi formanna. Einfaldlega sagt vísar útvíkkun til umbreytingar þar sem stærð hlutar er stækkaður eða minnkaður, en lögun og stefna hlutarins helst óbreytt.
Ef við lýsum hlut með hnitum á tvívíðu (2D) plani, þá er hægt að tákna útvíkkunarbreytinguna með einfaldri stærðfræðiformúlu. Segjum sem svo að við höfum punkt með hnitum (x, y) sem við viljum umbreyta með kvarðastuðlinum k. Nýju hnitin punktsins eru (kx, ky).
Ef k > 1, þá stækkar hluturinn. Ef 0 < k < 1, þá minnkar hluturinn. Til dæmis, ef við höfum þríhyrning með punktunum A(2, 3), B(4, 6) og C(6, 5) og viljum stækka þríhyrninginn um kvarðastuðul 2, þá eru nýju punktarnir í þríhyrningnum A'(4, 6), B'(8, 12) og C'(12, 10).
Hvernig útvíkkun virkar Til að skilja hvernig útvíkkun virkar verðum við að skoða tvo mikilvæga þætti: 1. Útvíkkunarmiðja: Fastur punktur þaðan sem fjarlægðir allra punkta á hlutnum eru margfaldaðar með kvarðastuðli. Þessi miðja getur verið innan við, utan við eða nákvæmlega í einum af punktum hlutarins. 2. Kvarðastuðull (k): Gildi sem notað er til að margfalda fjarlægðirnar frá útvíkkunarmiðju til allra punkta í hlutnum. Til dæmis, ef kvarðastuðullinn er 2, þá verða allar fjarlægðir frá útvíkkunarmiðju til punkta hlutarins tvöfaldaðar. Segjum sem svo að útvíkkunarmiðja sé í upphafi (0,0). Ef punkturinn A(x, y) á upprunalega hlutnum er útvíkkaður um kvarðastuðul k, þá verða nýju hnit A' (kx, ky). Í þessu tilfelli verður línan sem tengir útvíkkunarmiðju við punktinn á upprunalega hlutnum og punktinn á útvíkkaða hlutnum alltaf bein, sem gefur til kynna að hluturinn hefur verið stækkaður eða minnkaður hlutfallslega. Notkun útvíkkunar í daglegu lífi 1. Kortlagning og stigstærð: Kortlagning notar oft hugtakið útvíkkun. Til dæmis kort af borg eða landi. Slíkt kort er útvíkkun á raunverulegu svæði með ákveðnum kvarðastuðli, sem gerir kleift að kynna landfræðileg gögn á auðmeltanlegra formi. 2. Ljósmyndun og grafísk hönnun: Í heimi ljósmyndunar og grafískrar hönnunar er útvíkkun mikið notuð til að breyta stærð mynda og myndskreytinga. Þetta ferli þarf að gera án þess að breyta hlutföllum myndarinnar til að forðast röskun. 3. Stærðfræðileg líkanagerð: Í stærðfræðilegri líkanagerð, sérstaklega í eðlisfræði og verkfræði, er útvíkkun notuð til að herma eftir mismunandi aðstæðum án þess að þurfa að breyta grunnlögun líkansins. Til dæmis, í hermun á byggingarvirkjum, getur notkun útvíkkunar hjálpað til við að sjá áhrif þess að auka kvarðann án þess að breyta hlutföllum einstakra íhluta. Dæmi um vandamál og lausnir Vandamál 1: Íhugaðu punkt P(3, 4) í hnitafletinum. Útvíkkaðu þennan punkt með miðju í (0,0) með því að nota kvarðastuðul 3. Lausn: Punktur P hefur hnit (3,4). Ef við notum kvarðastuðul 3, margföldum við hnitin með 3: \[ P'(x', y') = (3 3, 3 4) = (9, 12) \] Þannig er nýi punkturinn P' eftir útvíkkun (9,12). Spurning 2: Þríhyrningur hefur punktana A(1, 2), B(3, 4) og C(5, 6). Notið útvíkkun með miðju í (0,0) og kvarðastuðul 0.5. Lausn: Punktur A(1,2): \[ A'(x', y') = (0.5 1, 0.5 2) = (0.5, 1) \] Punktur B(3,4): \[ B'(x', y') = (0.5 3, 0.5 4) = (1.5, 2) \] Punktur C(5,6): \[ C'(x', y') = (0.5 5, 0.5 6) = (2.5, 3) \] Þannig að útreikningurinn eftir þríhyrningsvíkkunina mun hafa punktana A'(0.5,1), B'(1.5,2) og C'(2.5,3). Tengsl við aðrar umbreytingar Auk víkkunar eru ýmsar aðrar umbreytingar þekktar í rúmfræði eins og færsla, snúningur og speglun. En hvað greinir víkkun frá þessum umbreytingum? - Færsla færir hlut frá einum stað til annars í hnitakerfinu án þess að breyta stærð hans, lögun eða stefnu. - Snúningur snýr hlut um snúningsmiðju um ákveðið horn, heldur stærð og lögun sinni en breytir stefnu sinni. - Speglun breytir stöðu hlutar út frá speglunarlínunni, eins og að spegla hlut á línu til að mynda samhverft form. Á meðan breytir víkkun, sérstaklega, aðeins stærðinni en viðheldur lögun sinni og stefnu. Niðurstaða Víkkun er nauðsynlegt stærðfræðilegt hugtak til að skilja hvernig hægt er að breyta stærð hluta hlutfallslega. Að stækka eða minnka hluta án þess að breyta grunnlögun hans er grundvöllur ýmissa notkunar á ýmsum sviðum, allt frá kortlagningu til grafískrar hönnunar og verkfræðihermunar. Að skilja og beita útvíkkun opnar dyrnar að flóknari gerðum rúmfræðilegra umbreytinga og hagnýtri notkun þeirra í raunveruleikanum. Sem eitt af mörgum verkfærum sem notuð eru í stærðfræði og vísindum minnir þetta hugtak okkur á mikilvæga staðreynd: stærð getur breyst, en form og kjarni helst óbreytt.