Dæmispurningar um neikvæða vigra eða andstæða vigra
Í stærðfræði, sérstaklega í eðlisfræði eða greiningarrúmfræði, gegnir hugtakið vigur lykilhlutverki. Vigur eru yfirleitt notaðir til að tákna stærðir með bæði stefnu og stærð, svo sem hraða, kraft og tilfærslu. Þegar rætt er um vigra rekumst við oft á hugtökin „neikvæður vigur“ eða „gagnstæður vigur“. Þessi grein mun útskýra þetta hugtak ítarlega og veita dæmi og lausnir til að auðvelda skilning.
Skilgreining á neikvæðri vigur
Neikvæður vigur, eða gagnstæður vigur, er vigur sem hefur gagnstæða stefnu en sömu stærðargráðu og upprunalegi vigurinn. Ef við höfum vigur \(\mathbf{a}\), þá hefur neikvæði vigur \(\mathbf{a}\), venjulega táknaður sem \(-\mathbf{a}\), gagnstæða stefnu og sömu stærðargráðu og \(\mathbf{a}\). Ef \(\mathbf{a}\) er táknaður í þáttaformi sem \((a_x, a_y)\), þá er neikvæði vigurinn \((-a_x, -a_y)\).
Vigurtáknun og framsetning
Segjum sem svo að vigur \(\mathbf{a}\) sé táknaður á íhlutaformi sem:
[\mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j}]
þar sem \(\mathbf{i}\) og \(\mathbf{j}\) eru einingavigrar í x- og y-átt, talið í sömu röð. Þá er hægt að tákna neikvæða vigrinn \(\mathbf{a}\) eða \(-\mathbf{a}\) sem:
\[ -\mathbf{a} = -a_x \mathbf{i} – a_y \mathbf{j} \]
Eiginleikar neikvæðra vigra
Nokkrir mikilvægir eiginleikar neikvæðra vigra eru meðal annars:
1. Samlagning við upprunalegan vigur: Ef vigur er lagður saman við neikvæðan vigur fæst vigur með núllgildi.
[\mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0} \]
2. Skalaraðgerðir: Ef vigur er margfaldaður með -1 fæst neikvæður vigur hans.
\[ -1 \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a} \]
Dæmi um spurningar og umræður
Til að skilja betur hugtakið neikvæðar vigrar eða andstæðar vigrar, skulum við vinna með eftirfarandi dæmi:
Dæmi 1:
Segjum sem svo að til sé vigur \(\mathbf{a} = 3 \mathbf{i} – 4 \mathbf{j}\). Ákvarðið neikvæða vigur vigursins \(\mathbf{a}\).
Umræða:
Það er vitað:
\[ \mathbf{a} = 3 \mathbf{i} – 4 \mathbf{j} \]
Neikvæði vektorinn af \(\mathbf{a}\) er:
\[ -\mathbf{a} = -1 \cdot (3 \mathbf{i} – 4 \mathbf{j}) \]
\[ -\mathbf{a} = -3 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} \]
Þannig að neikvæði vektorinn af \(\mathbf{a}\) er:
\[ -\mathbf{a} = -3 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} \]
Dæmi 2:
Það eru tveir vektorar \(\mathbf{b} = 6 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}\) og \(\mathbf{c} = -1 \mathbf{i} + 7 \mathbf{j}\). Finndu afurð \(\mathbf{b} + (-\mathbf{c})\).
Umræða:
Það er vitað:
\[ \mathbf{b} = 6 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} \]
\[ \mathbf{c} = -1 \mathbf{i} + 7 \mathbf{j} \]
Neikvæði vektorinn af \(\mathbf{c}\) er:
\[ -\mathbf{c} = -1 \cdot (-1 \mathbf{i} + 7 \mathbf{j}) \]
\[ -\mathbf{c} = 1 \mathbf{i} – 7 \mathbf{j} \]
Nú finnum við \(\mathbf{b} + (-\mathbf{c})\):
\[ \mathbf{b} + (-\mathbf{c}) = (6 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}) + (1 \mathbf{i} – 7 \mathbf{j}) \]
\[ \mathbf{b} + (-\mathbf{c}) = (6 + 1) \mathbf{i} + (2 – 7) \mathbf{j} \]
\[ \mathbf{b} + (-\mathbf{c}) = 7 \mathbf{i} – 5 \mathbf{j} \]
Þannig að niðurstaðan af \(\mathbf{b} + (-\mathbf{c})\) er:
\[ 7 \mathbf{i} – 5 \mathbf{j} \]
Dæmi 3:
Það er vigur \(\mathbf{d} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j}\), þar sem a og b eru rauntölur. Ef \(\mathbf{d} + \mathbf{e} = \mathbf{0}\) skaltu ákvarða vigurinn \(\mathbf{e}\).
Umræða:
Það er vitað:
\[ \mathbf{d} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j} \]
\[ \mathbf{d} + \mathbf{e} = \mathbf{0} \]
Til að fá \(\mathbf{e}\) getum við skrifað:
\[ \mathbf{e} = -\mathbf{d} \]
Þannig að vigur \(\mathbf{e}\) er neikvæði vigur \(\mathbf{d}\):
\[ \mathbf{e} = -\mathbf{d} = -a \mathbf{i} – b \mathbf{j} \]
Dæmi 4:
Gefinn vigur \(\mathbf{f} = 5 \mathbf{i} + k \mathbf{j}\). Það er vitað að neikvæði vigur \(\mathbf{f}\) er \(-5 \mathbf{i} – 8 \mathbf{j}\). Ákvarðaðu gildi k.
Umræða:
Það er vitað:
\[ \mathbf{f} = 5 \mathbf{i} + k \mathbf{j} \]
\[ -\mathbf{f} = -5 \mathbf{i} – 8 \mathbf{j} \]
Út frá þessu sambandi getum við smíðað þáttajöfnur fyrir \(\mathbf{f}\) og \(-\mathbf{f}\). Hvað varðar þáttajöfnur verða vigur \(\mathbf{f}\) og neikvæði vigur hans að hafa sömu staðsetningarvenjur með gagnstæðum formum. Þannig:
Fyrir íhlutina \( \mathbf{i} \):
\[ -5 = -5 \]
Þetta er sjálfkrafa satt.
Fyrir íhlutinn \( \mathbf{j} \):
\[ -k = -8 \]
\[k = 8 \]
Þannig að gildið á \(k \) er 8.
Niðurstaða
Að skilja hugtakið neikvæður vigur, eða gagnstæður vigur, er nauðsynlegt við nám í vigurum. Gagnstæður vigur er vigur sem er í gagnstæðri átt við upprunalega vigurinn en hefur sömu stærðargráðu. Í viguraðgerðum getur það verið mjög gagnlegt að þekkja og nota neikvæða vigra til að einfalda mörg vandamál, svo sem að leggja saman eða draga frá vigra. Með æfingu og skilningi á grunneiginleikum vigra mun skilningur á þessu hugtaki verða innsæisríkari.
Við vonum að dæmispurningarnar og umræðan sem kynnt er í þessari grein hjálpi þér að öðlast dýpri skilning á neikvæðum vigrum, eða andstæðum vigrum. Haltu áfram að æfa þig og skoða fleiri spurningar til að verða færari í þessu efni!
