Dæmispurningar um öfgapunkta lágmarks- og hámarksávöxtunar

Dæmispurningar og umræða um öfgapunkta: Lágmarksarðsemi og hámarksarðsemi

Að ákvarða öfgapunkta, punktana þar sem fall nær lágmarks- eða hámarksgildi sínu, er kjarnahugtak í stærðfræðireikningi og stærðfræðilegri greiningu. Í þessari grein munum við skoða hvernig á að finna og greina öfgapunkta með nokkrum dæmiverkum sem fela í sér lágmarks- og hámarksgildi.

Skilgreiningar og setningar um viðfangsefni

Áður en við ræðum dæmi um vandamál þurfum við að skilja nokkur grunnhugtök og setningar:

1. Gagnrýnipunktur: Er gildið á \(x \) þar sem fyrsta afleiða \(f'(x) \) fallsins \(f(x) \) er núll eða ekki til.
2. Hámarksendurkomugildi: Er gildið á \(f(x) \) sem er stærra en gildið á \(f(x) \) í kringum þann punkt.
3. Lágmarks skilagildi: Er gildið á \(f(x) \) sem er minna en gildið á \(f(x) \) í kringum þann punkt.
4. Fermatssetning: Ef \(f \) hefur staðbundið öfgagildi í \(c \) og afleiðan \(f'(c) \) er til, þá er \(f'(c) = 0 \).

Dæmispurning 1: Kvaðratísk föll

Fyrst byrjum við með einföldu annars stigs falli:

\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

Langkah-langkah:

1. Finndu fyrstu afleiðu f(x):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

2. Finndu mikilvægu punktana með því að leysa \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \implises x = 1
\]

3. Ákvarðið gildi fallsins í gagnrýna punktinum:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

4. Notaðu aðra afleiðuna til að ákvarða eðli punktsins:
\[
f"(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Þar sem \(f”(1) > 0 \) er punkturinn \(x = 1 \) staðbundinn lágmarkspunktur.

Dæmispurning 2: Margliðuföll

Nú skulum við prófa flóknari margliðufall:

\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

Langkah-langkah:

1. Ákvarðið fyrstu afleiðuna \(g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

2. Finndu mikilvægu punktana með því að leysa \(g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \implies 3x(x – 2) = 0 \implies x = 0 \text{ eða } x = 2
\]

3. Ákvarðið gildi fallsins í gagnrýna punktinum:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

4. Notaðu aðra afleiðuna til að ákvarða eðli punktsins:
\[
g"(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{staðbundið hámarksgildi})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{staðbundið lágmarksgildi})
\]

Þannig að g(x) hefur staðbundið hámark við x = 0 og staðbundið lágmark við x = 2.

Dæmispurning 3: Transcendental föll

Við skulum skoða fall sem felur í sér veldisvísitölu:

[ h(x) = xe^{-x} ]

Langkah-langkah:

1. Ákvarðið fyrstu afleiðuna \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]

2. Finndu gagnrýna punktinn með því að leysa \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 ∫1 – x = 0 ∫x = 1
\]

3. Ákvarðið gildi fallsins í gagnrýna punktinum:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

4. Notaðu aðra afleiðuna til að ákvarða eðli punktsins:
\[
h(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Þar sem \(h”(1) < 0 \), þá er punkturinn \(x = 1 \) staðbundið hámark. Dæmi um verkefni 4: Rökrétt föll Að lokum reiknum við rökréttu fallið: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]

Skref: 1. Finndu fyrstu afleiðuna með því að nota kvótaregluna: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. Finndu gagnrýnipunktana með því að leysa \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 3. Finndu gildi fallsins í gagnrýnipunktunum: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] [ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. Notið aðra afleiðuna til að athuga eðli punktsins: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] Frekari útreikningar er hægt að gera með því að endurdreifa \( k'(x) \) sem mun sýna hvort \( x = \sqrt{2} \) og \( x = -\sqrt{2} \) eru staðbundin hámarks- eða lágmörk. Niðurstaða Í þessari grein höfum við rætt nokkur dæmi sem sýna hvernig á að finna öfgagildi, þ.e. lágmarks- og hámarksandhverfugildi, fyrir ýmsar gerðir falla. Tæknin sem notuð eru felur í sér að finna fyrstu afleiðuna til að staðsetja gagnrýna punkta, nota aðra afleiðuna til að ákvarða eðli punktanna og meta fallið í þessum punktum. Þetta veitir traustan grunn til að kafa dýpra í fallgreiningu í stærðfræðigreiningu.