Dæmispurningar um kerfi línulegra jöfnna og ójöfnna
Línuleg jöfnu- og ójöfnukerfi eru mikilvægt efni í stærðfræði og eru víðtæk notkun á ýmsum sviðum, svo sem hagfræði, vísindum og verkfræði. Í þessari grein munum við ræða dæmi um vandamál sem fela í sér kerfi línulegra jöfnu- og ójöfnu og hvernig á að leysa þau í smáatriðum.
Skilgreining á kerfi línulegra jöfnna
Línuleg jöfnukerfi samanstendur af tveimur eða fleiri línulegum jöfnum sem tengjast hver annarri. Dæmi eru:
\[
\begin{tilfelli}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{tilfelli}
\]
Markmið lausnar þessa jöfnukerfis er að finna gildin á \(x\) og \(y\) sem uppfylla báðar jöfnurnar samtímis.
Aðferðir til að leysa línuleg jöfnukerfi
Það eru nokkrar aðferðir til að leysa línulegar jöfnur, þar á meðal:
1. Skiptiaðferð
2. Útrýmingaraðferð
3. Fylkisaðferð (öfug eða Gauss-Jordan aðferð)
Dæmispurning 1: Staðgengisaðferð
Við skulum leysa eftirfarandi kerfi með því að nota staðgengilsaðferðina:
\[
\begin{tilfelli}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{tilfelli}
\]
Langkah-langkah:
1. Einangraðu eina af breytunum í einni af jöfnunum.
Frá fyrstu jöfnunni einangrum við \(x\):
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Settu fundnu jöfnuna inn í hina jöfnuna.
Setjið \(x = 10 – 2y\) inn í aðra jöfnuna:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Leysið fyrir \(y\):
\[
30 – 6ár – y = 5
\]
\[
30 – 7 ár = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Notaðu fundnu gildin til að finna aðrar breytur.
Setjið \(y = \frac{25}{7}\) aftur inn í jöfnuna fyrir \(x\):
\[
x = 10 – 2\vinstri(\frac{25}{7}\hægri)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Lausnirnar á kerfinu eru því \(x = \frac{20}{7} \) og \(y = \frac{25}{7} \).
Dæmispurning 2: Útrýmingaraðferð
Næst skulum við nota útrýmingaraðferðina til að leysa eftirfarandi kerfi:
\[
\begin{tilfelli}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\end{tilfelli}
\]
Í þessu tilfelli sjáum við að önnur jafnan er margfeldi af fyrstu jöfnunni. Til að minnka kerfið getum við margfaldað fyrstu jöfnuna með 2 og síðan dregið hana frá annarri jöfnunni:
1. Margfaldaðu fyrstu jöfnuna með 2:
\[
2(2x + 3y) = 2 ⋅ 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Dragðu margfaldaða fyrstu jöfnuna frá seinni jöfnunni:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Þetta gefur \(0 = 0\), sem gefur til kynna að kerfið hefur óendanlegar lausnir og þessar jöfnur eru háðar.
Dæmispurning 3: Línulegar ójöfnur
Línulegar ójöfnur fylgja svipuðum meginreglum og línulegar jöfnur, en fela í sér ójöfnumerki eins og \(<, ≤, >, ≤\geq\). Við skulum skoða einfalt dæmi:
\[
\begin{tilfelli}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Skref: 1. Við notum grafíska aðferð til að ákvarða lausnarsvæði þessa kerfis. Teiknið hverja ójöfnu. 2. Breytið ójöfnunni í jöfnu til að ákvarða jaðarlínuna: Fyrir \(3x - y < 7\) er jaðarlínan \(3x - y = 7\)
