Dæmi um línulega aðhvarfsgreiningu og umræður
Línuleg aðhvarfsgreining er tölfræðileg aðferð sem notuð er til að ákvarða tengslin milli tveggja eða fleiri breyta. Þessi aðferð er mikið notuð á ýmsum sviðum, þar á meðal hagfræði, viðskiptafræði, félagsvísindum og náttúruvísindum. Í þessari grein munum við ræða línulega aðhvarfsgreiningu, hvernig á að reikna hana út og gefa nokkur dæmi um vandamál með útskýringum til að hjálpa lesendum að skilja þetta hugtak ítarlega.
Að skilja línulega aðhvarfsgreiningu
Línuleg aðhvarfsgreining er greiningaraðferð sem notuð er til að líkja eftir sambandi milli einnar eða fleiri óháðra breyta (spárbreyta) og háðrar breytu (svörunar). Einföld línuleg aðhvarfsgreining felur í sér eina óháða breytu og eina háða breytu, en margföld línuleg aðhvarfsgreining felur í sér fleiri en eina óháða breytu.
Jafna einfaldrar línulegrar aðhvarfslínu er:
[Y = a + bX]
Hvar:
– \(Y \) er háða breytan.
– \(X \) er óháða breytan.
– \(a \) er skurðpunkturinn, sem er gildi Y þegar X = 0.
– \(b \) er aðhvarfsstuðullinn, það er að segja hversu mikið Y breytist ef X breytist um eina einingu.
Línuleg aðhvarfsgreining
1. Gögnasafn: Fyrst skal safna gögnunum sem á að greina.
2. Teikna gögn: Búið til dreifingarrit til að sjá hvort línulegt samband sé milli breytanna.
3. Reiknaðu aðhvarfsgreiningarstuðulinn: Notaðu aðferð minnstu kvaðrata til að ákvarða bestu línuna.
4. Prófun líkansins: Prófið marktækni aðhvarfsstuðlanna með t-prófi og ákvarðið R-kvaðrat gildið til að sjá hversu vel líkanið passar við gögnin.
Dæmi um spurningar og umræður
Dæmispurning 1: Einföld línuleg aðhvarfsgreining
Spurning:
Rannsakandi vill vita tengslin milli fjölda námsstunda (X) og prófskora nemenda (Y). Gögnin sem fengust eru eftirfarandi:
| Námstímar (X) | Prófeinkunn (Y) |
|——————–|——————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |
Búðu til línulega aðhvarfsjöfnu úr þessum gögnum!
Umræða:
1. Útreikningur meðaltals:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\bar{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. Útreikningur á aðhvarfsstuðlinum \(b \):
\[
b = \frac{\summa(X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\summa(X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
\summa (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
\summa (X_i – \bar{X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \u.þ.b. 3.08
\]
3. Útreikningur á skurðpunktinum \(a \):
\[
a = \bar{Y} – b \bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 x 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Aðhvarfsjafna:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]
Þannig er línulega aðhvarfsjafnan fyrir gögnin \(Y = 64.6 + 3.08X \). Þetta þýðir að hver viðbótarstund náms er væntanlega hækki prófskorið um 3.08 stig.
Dæmispurning 2: Prófun og túlkun líkans
Spurning:
Með því að halda áfram með sömu gögnum, reiknið út R-kvaðrat gildið (R²) til að mæla hversu vel líkanið passar við gögnin. Prófið einnig marktækni aðhvarfsstuðulsins \(b \).
Umræða:
1. Reiknaðu heildarsummu ferninga (SST), aðhvarfssummu ferninga (SSR) og villusummu ferninga (SSE):
\[
SST = \summa(Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
SSR = \sum(\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
Þar sem \( \hat{Y}_i \) er spáð gildi aðhvarfsjöfnunnar:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\hat{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
Y = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. Útreikningur á SSE:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. Útreikningur á R-kvaðrat:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \u.þ.b. 0.6
\]
R-kvaðrat gildi upp á 0.6 gefur til kynna að þetta líkan skýri um það bil 60% af breytileikanum í gögnunum. Þetta gefur til kynna að aðhvarfslínan passar nokkuð vel við gögnin.
4. t-próf fyrir marktæknistuðulsins \(b \):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = √SSE/n-2 / √summa (X_i – √X)^2
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = √33.4 / √26 \u.þ.b. 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \u.þ.b. 2.73
\]
Með \(t-tölfræði \approx 2.73 \), ef við notum sameiginlegt þröskuld fyrir marktækni (α = 0.05), berum við það saman við t-töfluna. Til dæmis, fyrir \(df = 3 \), er gagnrýnin \(t \) um það bil 2.353. Þá er \(t-mælt > t-gagnrýnin \), sem gefur til kynna að stuðullinn sé marktækur.
Niðurstaða
Í þessari grein höfum við fjallað um grunnatriði línulegrar aðhvarfsgreiningar, hvernig á að reikna út aðhvarfsstuðul og skurðpunkt og hvernig á að túlka niðurstöðurnar með því að nota dæmi. Tíð æfing með mismunandi gagnasöfn er nauðsynleg til að ná góðum tökum á þessari aðferð. Línuleg aðhvarfsgreining er verðmætt tæki í gagnagreiningu og getur veitt djúpa innsýn í tengslin milli breyta.
