Dæmispurningar um notkun heildunar í eðlisfræði
Notkun heildalna í eðlisfræði er mjög mikilvægt og víðtækt hugtak. Notkun heildalna gerir eðlisfræðingum og verkfræðingum kleift að reikna út fjölbreytt flókin náttúrufyrirbæri, hvort sem þau tengjast hreyfingu, orku, krafti eða öðrum þáttum. Þessi grein mun skoða nokkur dæmi um vandamál og ræða notkun heildalna í eðlisfræði.
1. Reikningur vinnu með breytilegum krafti
Soal
Kraftur sem breytist með stöðu \(x\) er gefinn með \( F(x) = 3x^2 \). Reiknið vinnuna sem þessi kraftur vinnur þegar hluturinn færist frá \(x = 0\) í \(x = 2 \) metra.
Umræða
Vinna sem breytilegur kraftur vinnur er heildi kraftsins yfir vegalengdina. Ef krafturinn \(F(x) \) sem fall af stöðu \(x\) er gefinn, getum við táknað vinnuna sem:
[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Í þessu tilviki:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{metra} \]
\[ b = 2 \, \text{metra} \]
Þá er vinnan \(W\):
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Við reiknum þetta heildargildi:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 (\frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 (\frac{8}{3} – 0\right)
= 8 \, \text{Joule}
\]
Þannig að vinnan sem krafturinn vinnur er 8 joule.
2. Útreikningur á massamiðju einsleitrar stangar
Soal
Einsleit stöng með lengdina L er staðsett á x-ásnum frá x = 0 til x = L. Reiknið út staðsetningu massamiðju stangarinnar.
Umræða
Fyrir einsleita stöng er massinn jafnt dreift eftir lengd hennar. Við getum gert ráð fyrir að stöngin hafi fastan línulegan massa \(\lambda\) (massi á lengdareiningu).
Massamiðjan (\(x_{cm}\)) er gefin með:
[x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Þar sem massinn er einsleitur, getum við táknað \(dm = \lambda \, dx\) og randheildið frá \(x = 0\) til \(x = L\):
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x ΔL, dx}{\int_{0}^{L ΔL, dx}
\]
Samþætting yfir \(\lambda\) er stöðug og hægt er að afturkalla hana:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Þannig að staðsetning massamiðju stangarinnar er í \( \frac{L}{2} \), eða í miðri stanginni.
3. Útreikningur á rafstöðukrafti byggður á lögmáli Coulombs
Soal
Tvær hleðslur, q_1 og q_2, eru staðsettar meðfram x-ásnum við x = 0 og x = L, talið í sömu röð. Reiknið út rafstöðukraftinn milli hleðnanna tveggja.
Umræða
Lögmál Coulombs segir að krafturinn milli tveggja punkthleðslu er í réttu hlutfalli við margfeldi hleðnanna og í öfugu hlutfalli við ferning fjarlægðarinnar á milli þeirra:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Hvar:
– \(k_e\) er Coulomb-stuðullinn \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) er fjarlægðin milli hleðslnanna
Í þessu tilfelli liggja \(q_1\) og \(q_2\) við \(x = 0\) og \(x = L\), þá er fjarlægðin \(r = L\).
Rafstöðukrafturinn er:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Þetta er algeng lausn til að reikna út rafstöðukraft milli tveggja punkthleðslu sem eru staðsettar í ákveðinni fjarlægð.
4. Útreikningur á segulflæði
Soal
Hringlaga vírlykkja með radíus r er sett í einsleitt segulsvið B sem er hornrétt á plan lykkjunnar. Reiknið segulflæðið í gegnum lykkjuna.
Umræða
Segulflæðið (\(\Phi_B\)) í gegnum svæði \(A\) í segulsviði \(B\) er gefið með:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Þar sem segulsviðið \(B\) er einsleitt og hornrétt á lykkjuflötinn, verður einfalda heildið:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Þar sem flatarmál hrings með radíus r er: A
\[ A = π/r^² \]
Þá er segulflæðið í gegnum lykkjuna:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Þannig að segulflæðið í gegnum lykkjuna er ∫(B π r^2).
Niðurstaða
Notkun heilda í eðlisfræði er óhjákvæmileg þegar við þurfum að reikna út upplýsingar sem tengjast flóknum náttúrufyrirbærum. Frá því að reikna vinnu sem breytilegur kraftur vinnur, ákvarða massamiðju hlutar, reikna rafstöðukrafta út frá lögmáli Coulombs, til að reikna segulflæði í gegnum vírlykkju í segulsviði, allt treystir það á heildur til að leysa vandamál. Ítarlegur skilningur á því hvernig heildur virka í ýmsum eðlisfræðilegum samhengjum einfaldar ekki aðeins lausn vandamála heldur veitir einnig dýpri innsýn í aflfræði alheimsins á sameindastigi og vetrarbrautarstigi.
