Dæmispurningar um hringi og snertila
Hringir eru mikilvægt efni í fylkjarúmfræði, þar sem djúp hugtök um fjarlægð, horn og lögun eru sýnd. Eitt hugtak sem oft er rætt í þessu efni er snertilína hrings. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um vandamál sem fela í sér hringi og snertil.
Grunnskilningur á hringjum og snertilum
Hringur
Hringur er rúmfræðilegt form sem myndast af öllum punktum í fleti sem eru í fastri fjarlægð frá gefnum punkti sem kallast miðju hringsins. Þessi fasta fjarlægð kallast radíus hringsins.
Snertilaus
Snertill við hring er lína sem snertir hringinn í nákvæmlega einum punkti. Þessi punktur kallast snertipunktur. Snertill hefur nokkra mikilvæga eiginleika, þar á meðal:
– Snertilínan er alltaf hornrétt á radíus hringsins í snertipunktinum.
– Lengd snertils frá punkti utan hringsins að hringnum er sú sama ef tveir snertilar eru teiknaðir frá þeim punkti.
Dæmi um spurningar og umræður
Hér að neðan munum við kynna nokkur dæmi um spurningar sem fjalla ítarlega um hugtakið hringir og snertilar.
Dæmispurning 1: Að finna lengd snertilínunnar
Spurning:
Gefinn hringur með miðju \(O\) og radíus \(r = 6 \, \text{cm}\). Frá punktinum \(P\) utan hringsins, sem er 10 cm frá miðju hringsins, eru tveir snertilarnir \(PA\) og \(PB\) dregnir að hringnum. Reiknið lengd snertilsins \(PA\).
Umræða:
Í þessu dæmi getum við notað reglu Pýþagórasar. Teiknaðu þríhyrning \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (fjarlægð frá ysta punkti að miðju hringsins)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (radíus hringsins)
– \(PA\) er snertilínan sem þarf að finna
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = 64 = 8 cm
\]
Þannig að lengd snertilínunnar \(PA\) er 8 cm.
Dæmispurning 2: Að finna snertipunktinn
Spurning:
Gefinn er hringur með jöfnunni _((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25_) og línu _(y = 2x + 1_). Ákvarðið snertipunkt hringsins og línunnar.
Umræða:
Fyrst greinum við miðju og radíus hringsins:
– Miðja \(O(3, 4)\)
– Radíus (r = 25 = 5)
Til að finna snertipunktinn, gerum ráð fyrir að snertipunkturinn sé \(T(x_1, y_1)\) sem liggur einnig á línunni \(y = 2x + 1\). Þá:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) verður einnig að uppfylla jöfnu hringsins:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Setjið \(y_1 = 2x_1 + 1\) inn í hringjöfnuna:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Við þurfum að reikna út tvo ferninga.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Sameina báðar niðurstöðurnar:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Dragðu 25 frá báðum hliðum:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Leysið annars stigs jöfnuna:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 μpm ≈ 0.4 μsqrt{29}
\]
Reiknaðu gildið á \(y_1\):
Sem uppfyllir y = 2x + 1:
– Ef \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), þá er \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Ef \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), þá er \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Mat:
Þannig fáum við tvo skurðpunkta jöfnu hringsins við þá línu.
Dæmispurning 3: Að ákvarða jöfnu snertilínu
Spurning:
Gefinn hringur með jöfnunni _((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20_). Ákvarðið jöfnu snertilínunnar við hringinn sem fer í gegnum punktinn _(6, 7)_.
Umræða:
Snertilinn við hring með miðju \((h, k)\) og radíus \(r\) frá þekktum ytri punkti má finna með jöfnunni:
Snertilínan fer í gegnum ytri punktinn \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Settu inn ytri punktinn \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Jafna snertilínunnar er:
\[
x + y = 9
\]
Þannig að breytileiki jöfnu línunnar í gegnum punkt hringlínunnar er mjög mikill og getur breyst eftir niðurstöðunni eða sjónrænni framsetningu.
Niðurstaða
Umræðan um hringi og snertila nær yfir nokkra grundvallarþætti stærðfræðinnar, allt frá því að beita grunnformúlum eins og Pýþagórasarreglunni til að leysa annars stigs jöfnur. Með þessum dæmum getum við fengið betri skilning á því hvernig beita má þessum hugtökum í nokkuð flóknum aðstæðum. Vonandi hefur þessi grein hjálpað til við að veita skýra mynd af því hvernig nálgast eigi og leysa vandamál sem fela í sér hringi og snertila.
