Dæmispurningar og umræða um fylgni margfeldis
Margfeldis-moment fylgni, einnig þekkt sem Pearson fylgni, er tölfræðileg aðferð sem notuð er til að mæla styrk og stefnu línulegs sambands milli tveggja breyta. Þessi aðferð er gagnleg á ýmsum sviðum, allt frá fræðilegum rannsóknum og viðskiptagreiningum til mats á tilraunum í náttúruvísindum. Í þessari grein verður fjallað um nokkur dæmi um vandamál og lausnir þeirra til að reikna margfeldis-moment fylgni.
Pendahuluan
Áður en við förum yfir dæmispurningarnar er gott að skilja grunnhugtakið um margfeldisfylgni. Almenna formúlan sem notuð er til að reikna út Pearson fylgnistuðulinn (\(r\)) er:
[ r = \frac{n(\sum{X}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Hvar:
– \(n \) er fjöldi gagnapara.
– \( \sum{XY} \) er summa margfeldanna af \(X \) og \(Y \).
– \( \sum{X} \) er summa breytanna \(X \).
– \( \sum{Y} \) er summa breytanna \(Y \).
– \( \sum{X^2} \) er summa ferninganna af breytunni \(X \).
– \( \sum{Y^2} \) er summa ferninganna af breytunni \(Y \).
Pearson-fylgnistuðullinn (\(r \)) er alltaf á milli -1 og 1. Jákvæð fylgni gefur til kynna að báðar breyturnar færist í sömu átt, en neikvæð fylgni gefur til kynna að þegar önnur breytan eykst, þá minnkar hin. Ef \(r = 0 \) þá er engin línuleg fylgni milli breytanna tveggja.
Dæmi um spurningu 1
Gögn
Eftirfarandi eru einkunnir úr stærðfræði- og eðlisfræðiprófum fyrir 5 nemendur:
| Nemandi | Stærðfræði (X) | Eðlisfræði (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Skref til að leysa
1. Útreikningur á mikilvægum þáttum:
– \( \summa{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Sláðu inn í formúluna:
[ r = \frac{n(\sum{X}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Útreikningur á niðurstöðum:
– Teljari: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Nefnari:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \u.þ.b. \sqrt{976856} \u.þ.b. 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \u.þ.b. 0.633 \]
Þannig er fylgnistuðull Pearson milli stærðfræði- og eðlisfræðiprófanna 0.633, sem gefur til kynna að miðlungs jákvæð fylgni sé milli breytanna tveggja.
Dæmi um spurningu 2
Gögn
Eftirfarandi eru gögn um söluvirði og auglýsingakostnað í 6 mánuði hjá fyrirtæki:
| Mánuður | Auglýsingar (X) | Sala (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Skref til að leysa
1. Útreikningur á mikilvægum þáttum:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000 \ 2500) + (1800 \ 2100) + (2200 \ 2700) + (2400 \ 2900) + (2300 \ 3000) + (2500 \ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Sláðu inn í formúluna:
[ r = \frac{n(\sum{X}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Útreikningur á niðurstöðum:
– Teljari: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Nefnari:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \u.þ.b. \sqrt{9343200000000} \u.þ.b. 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \u.þ.b. 0.981 \]
Þannig er fylgnistuðull Pearson milli auglýsingaútgjalda og söluvirðis 0.981, sem bendir til þess að mjög sterk jákvæð fylgni sé milli breytanna tveggja.
Niðurstaða
Pearson-fylgnistuðullinn (\(r\)) er mjög gagnlegt tól til að skilja línulegt samband milli tveggja breyta. Í dæmunum sem gefin eru sjáum við hvernig á að reikna \(r\) gildið og túlka það. Hærri fylgni (nær 1 eða -1) gefur til kynna sterkara samband, en lægri fylgni (nær 0) gefur til kynna veikara samband. Mikilvægt er að hafa í huga að fylgni felur ekki í sér orsakasamhengi; hún gefur einfaldlega til kynna að samband sé milli breytanna tveggja.
