Dæmispurningar um umbreytingarsamsetningu með fylkjum
Rúmfræðilegar umbreytingar eru mikilvægt efni í stærðfræði, sérstaklega í rúmfræði og línulegri algebru. Þessar umbreytingar geta falið í sér hliðrunar, snúninga, speglun og útvíkkanir. Í þessari grein munum við skoða hvernig hægt er að tákna og leysa samsetningu ýmissa umbreytinga með fylkjum. Við munum einnig veita dæmi um vandamál og lausnir.
1. Inngangur að umbreytingu með fylkjum
Hægt er að tákna rúmfræðilegar umbreytingar með fylkjum. Til dæmis er hægt að setja snúnings-, hliðrunar-, speglunar- og útvíkkunarumbreytingar fram í fylkjaformi á eftirfarandi hátt:
1. Þýðing
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Snúningur
\[
R(θ) = \begin{pmatrix} \cosθ & -θ \sinθ \sinθ & \cosθ \end{pmatrix}
\]
3. Speglun um X-ásinn
\[
\text{Speglun X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Útvíkkun (stækkun/stækkun)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Samsetning umbreytinga með fylkjum
Umbreytingarsamsetning er raðbundin beiting tveggja eða fleiri umbreytinga á hlut. Til að reikna umbreytingarsamsetningu með því að nota fylki margföldum við einfaldlega fylkin sem tákna umbreytingarnar.
Dæmi um spurningar og umræður
Soal
Gefinn punkturinn P(2, 3), finndu niðurstöðu eftirfarandi umbreytingar:
1. Snúningur \(90°\circ\) réttsælis (CW)
2. Útvíkkun með kvarðastuðli 2
3. Þýðing á (1, -2)
Umræða
1. Snúningur \(90°\hring\) með hægri hlið
Fylkið fyrir réttsælis snúning á \(90^\circ\):
\[
``` „\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
Að beita snúningsumbreytingu á punktinn P:
\[
``` \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\cdot 2 + 1 \\cdot 3 \\ -1 \\cdot 2 + 0 \\cdot 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\end{pmatrix}``
\]
Punkturinn P eftir snúningsbreytinguna er P'(3, -2).
2. Útvíkkun með kvarðastuðli 2
Fylkismynd fyrir útvíkkun með kvarðastuðli 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
Að beita útvíkkunarbreytingu í punktinum P'(3, -2):
\[
``` \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \\ 3 + 0 \\ -2 \\ 0 \\ 3 + 2 \\ -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\end{pmatrix}``
\]
Punkturinn P' eftir útvíkkunarbreytinguna er P”(6, -4).
3. Þýðing á (1, -2)
Eftirfarandi eru þýðingaraðgerðirnar sem gefnar eru:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
Að beita þýðingarbreytingu í punktinum P”(6, -4):
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \\end{pmatrix} = \\-6 \\end{pmatrix}
\]
Þannig að endapunkturinn eftir að allar umbreytingar hafa verið notaðar er P(7, -6).
3. Útreikningur á umbreytingarsamsetningu
Viðbótarspurningar
Gefinn punktur Q(1, 2) og eftirfarandi umbreyting:
1. Speglun um X-ásinn.
2. Snúningur \(180°\circ\) réttsælis (CW).
Umræða
1. Speglun um X-ásinn
Speglunarfylki um X-ásinn:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Að beita speglunarbreytingu í punkti Q:
\[
``` \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 ⋅ 1 + 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 + (-1) \\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\end{pmatrix}``
\]
Punkturinn Q eftir speglunarbreytinguna er Q'(1, -2).
2. Snúningur \(180°\hring\) með hægri hlið
Fylkismynd fyrir snúning 180° réttsælis:
\[
``` = ``` \begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -sin(180^\circ) \\ sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = ``` \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Að beita snúningsumbreytingu \(180^\circ\) á punktinn Q'(1, -2):
\[
``` \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -1 ⋅ 1 + 0 \\ -2 \\ 0 \\ + -1 \\ -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\end{pmatrix}``
\]
Þannig að endapunkturinn eftir að allar umbreytingar hafa verið framkvæmdar er Q(-1, 2).
Lokun
Aðferðin við umbreytingarsamsetningu með því að nota fylki er mjög gagnleg til að einfalda og kerfisbundið reikna út rúmfræðilegar umbreytingar. Með því að fylgja skrefunum hér að ofan getum við auðveldlega skilið og beitt ýmsum gerðum umbreytinga á einn punkt eða annan rúmfræðilegan hlut. Að læra að nota fylki í umbreytingum auðveldar einnig að beita þeim á ýmsum sviðum eins og eðlisfræði, tölvugrafík og fleiru.
