Dæmispurningar um líkindi tveggja fylkja
Stærðfræði, sem undirstöðugrein, hefur ýmsar djúpstæðar greinar, þar á meðal línuleg algebra, þar sem fylki eru oft rædd grundvallaratriði. Í samhengi línulegrar algebru er hugtakið fylkjalíkindi (eða jafngildi) mikilvægt efni og er notað í ýmsum stærðfræðilegum og verkfræðilegum tilgangi. Þessi grein fjallar um líkindi tveggja fylkja, hvernig bera má saman þessi líkindi og veitir nokkur dæmi um vandamál og lausnir þeirra til að auðvelda skilning.
Að skilja líkindi tveggja fylkja
Tvær fylki eru sagðar jafnstórar ef þær eru jafnstórar og hvert samsvarandi stak í fylkjunum er einnig jafnt. Stærðfræðilega séð eru tvær fylki, A og B, sagðar jafnstórar, skrifaðar A = B, ef og aðeins ef:
1. Báðar fylkin hafa jafnmargar raðir og dálka.
2. Sérhvert stak í samsvarandi stöðu í báðum fylkjum er það sama.
Segjum sem svo að A = [a_{ij}] og B = [b_{ij}] þá er A = B ef og aðeins ef:
– \(A\) og \(B\) eru jafnstór (t.d. \(m \times n\) fylki).
– \(a_{ij} = b_{ij}\) fyrir hvert stak (i, j) í fylkinu.
Skref til að ákvarða fylkislíkindi
1. Athugaðu stærð fylkis: Gakktu úr skugga um að fylkin hafi sama fjölda raða og dálka. Ef þau eru ekki jafn stór er ekki hægt að bera þau saman frekar.
2. Berðu saman hvert stak: Athugaðu samsvarandi stak í báðum fylkjum. Ef það eru ójöfn stak, þá eru fylkin ójöfn.
Dæmi um spurningar og umræður
Við skulum skoða nokkur dæmi um vandamál sem fela í sér líkindi tveggja fylkja ásamt lausnum þeirra til að skýra þetta hugtak.
Dæmi um spurningu 1
Gefið eftirfarandi tvær fylki og ákvarðið hvort þau séu jöfn eða ekki:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]
\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]
Umræða:
– Skref 1: Athugaðu stærð fylkisins.
Fylkin \(A\) og \(B\) eru hvort um sig 2 sinnum 3 að stærð. Báðar fylkin hafa jafnmargar raðir og dálka.
– Skref 2: Berið saman hvert samsvarandi frumefni.
Berið saman frumefnin \(a_{ij}\) og \(b_{ij}\):
– \(a_{11} = 1\) og \(b_{11} = 1\)
– \(a_{12} = 2\) og \(b_{12} = 2\)
– \(a_{13} = 3\) og \(b_{13} = 3\)
– \(a_{21} = 4\) og \(b_{21} = 4\)
– \(a_{22} = 5\) og \(b_{22} = 5\)
– \(a_{23} = 6\) og \(b_{23} = 6\)
Öll samsvarandi frumefni eru þau sömu.
Þannig að fylkin \(A\) og \(B\) eru þau sömu.
Dæmi um spurningu 2
Gefið eftirfarandi tvær fylki, eru þau jöfn?
\[ C = \begin{bmatrix} 1 og 2 \\ 3 og 4 \end{bmatrix} \]
\[ D = \begin{bmatrix} 1 og 2 \\ 3 og 5 \end{bmatrix} \]
Umræða:
– Skref 1: Athugaðu stærð fylkisins.
Fylkin \(C\) og \(D\) eru hvort um sig 2 sinnum 2 að stærð. Báðar fylkin hafa jafnmargar raðir og dálka.
– Skref 2: Berið saman hvert samsvarandi frumefni.
Berið saman frumefnin \(c_{ij}\) og \(d_{ij}\):
– \(c_{11} = 1\) og \(d_{11} = 1\)
– \(c_{12} = 2\) og \(d_{12} = 2\)
– \(c_{21} = 3\) og \(d_{21} = 3\)
– \(c_{22} = 4\) og \(d_{22} = 5\)
Hér eru frumefnin \(c_{22}\) og \(d_{22}\) aðgreind (4 ≠ 5).
Þannig að fylkin \(C\) og \(D\) eru ekki jöfn.
Dæmi um spurningu 3
Gefin eru eftirfarandi tvær fylki:
\[ E = \begin{bmatrix} 7 og 8 \end{bmatrix} \]
\[ F = \begin{bmatrix} 7 og 8 \\ 9 og 10 \end{bmatrix} \]
Eru þessar tvær fylki eins?
Umræða:
– Skref 1: Athugaðu stærð fylkisins.
Fylkið \(E\) er 1 sinnum 2 en \(F\) er 2 sinnum 2. Stærð fylkjanna er ekki sú sama.
Þannig að fylkin \(E\) og \(F\) eru ekki jöfn vegna þess að stærðir þeirra eru mismunandi.
Dæmi um spurningu 4
Segjum sem svo að það séu eftirfarandi tvær fylki:
\[ G = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]
\[ H = \begin{bmatrix} 1 og 2 \\ 3 og 4 \end{bmatrix} \]
Ákvarðið gildi \(a, b, c, d\) þannig að \(G\) og \(H\) séu jöfn.
Umræða:
Samkvæmt skilgreiningu á jöfnu verða samsvarandi stök \(G\) og \(H\) að vera jöfn:
– \(a = 1\)
– \(b = 2\)
– \(c = 3\)
– \(d = 4\)
Þannig að ef \(G = H\), þá verða \(a, b, c, d\) að hafa gildin \(1, 2, 3\) og \(4\) talið í sömu röð.
Niðurstaða
Út frá umræðunni um dæmispurningarnar hér að ofan getum við ályktað ferlið við að ákvarða líkindi tveggja fylkja:
1. Athugaðu hvort báðar fylkin séu jafn stórar.
2. Berðu saman hvert samsvarandi stak eitt af öðru. Ef öll stakin eru jöfn, þá eru bæði fylkin jöfn.
Að skilja líkindi tveggja fylkja er grundvallaratriði í rannsóknum á línulegri algebru og notkun hennar í ýmsum fræðigreinum. Líkindi tveggja fylkja gerir okkur kleift að framkvæma aðrar aðgerðir eins og samlagningu, frádrátt og margföldun auðveldlega og nákvæmlega. Þess vegna er mikilvægt að ná tökum á þessu hugtaki fyrir frekara stærðfræðinám.
