Dæmispurningar um einkenni annars stigs falla

Dæmispurningar um einkenni annars stigs falla

Ferningsfallið er mikilvægt efni í stærðfræði sem oft er fjallað um í námskrá framhaldsskóla. Almenna form ferningsfalls er \(f(x) = ax^2 + bx + c \), þar sem \(a \), \(b \) og \(c \) eru fastar með \(a \neq 0 \). Umfjöllun um eiginleika ferningsfalla felur í sér ýmsa þætti eins og samhverfuás, topppunkt, hámarks- eða lágmarksgildi og stefnu parabólunnar. Þessi grein mun fjalla um nokkur dæmi um vandamál og lausnir þeirra til að skilja betur eiginleika ferningsfalla.

1. Spurning: Að ákvarða samhverfuásinn og hnútpunktinn

Dæmi um vandamál:
Gefið er annars stigs fall \(f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \). Ákvarðið samhverfuásinn og topppunkt fallsins.

Umræða:
Til að ákvarða samhverfuás annars stigs fallsins \(ax^2 + bx + c \) notum við formúluna:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]

Í gefnu falli \(f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \) eru gildin \(a = 2 \) og \(b = -4 \). Setjið þessi gildi inn í formúluna:
[x = -\frac{-4}{2 ⋅²}]
\[x = \frac{4}{4} \]
\[x = 1 \]

Þannig að samhverfuás fallsins er \(x = 1 \).

Til að finna topppunktinn setjum við gildi samhverfuássins inn í fallið:
\[ f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 \]
\[ f(1) = 2 – 4 + 1 \]
\[ f(1) = -1 \]

Þannig að topppunktur fallsins er \( (1, -1) \).

2. Spurning: Að ákvarða stefnu parabólu

Dæmi um vandamál:
Ákvarðið stefnu parabólunnar í annars stigs fallinu \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \).

Umræða:
Stefna parabólu annars stigs falls er ákvörðuð af gildi stuðulsins \(a \).

– Ef \(a > 0 \) þá opnast parabólan upp á við.
– Ef \( a < 0 \) opnast parabólan niður á við. Í gefnu falli \( f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \) er gildi \( a = -3 \). Þar sem \( a < 0 \) opnast parabólan niður á við. 3. Dæmi: Að finna rætur annars stigs falls. Dæmi: Finndu rætur annars stigs fallsins \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \). Lausn: Rætur annars stigs falls er hægt að finna með þáttun eða með því að nota annars stigs formúluna. Við þáttum það: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Finndu tvær tölur sem margfaldast til að gefa 6 og leggðu saman til að gefa -5. Þessar tölur eru -2 og -3. \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \] Þannig eru ræturnar: \[ x - 2 = 0 \quad \text{eða} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{eða} \quad x = 3 \] 4. Spurning: Dæmi um hámarks- eða lágmarksgildi. Spurning: Ákvarðið lágmarksgildi annars stigs fallsins \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \).

Umræða: Til að ákvarða lágmarksgildi annars stigs fallsins \(ax^2 + bx + c \) þurfum við að athuga hvort parabólan opnast upp eða niður. Ef \(a > 0 \) opnast parabólan upp og hefur lágmarksgildi; ef \(a < 0 \) opnast parabólan niður og hefur hámarksgildi. Í gefnu falli \(f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \) er gildi \(a = 2 \) þannig að parabólan opnast upp og hefur lágmarksgildi. Lágmarksgildið er í topppunktinum. Við þekkjum nú þegar samhverfuásinn \(x = -\frac{b}{2a} \). Fyrir þetta fall: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{4}{4} \] \[ x = 1 \] Setjið \( x = 1 \) inn í fallið til að finna lágmarksgildið: \[ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 \] \[ f(1) = 2 - 4 + 5 \] \[ f(1) = 3 \] Þess vegna er lágmarksgildi fallsins 3. 5. Spurning: Grafísk færsluferilsfalls Dæmispurning: Búið til graf af ferningsfallinu \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \). Umræða: Til að teikna ferningsfall þurfum við að finna nokkra mikilvæga eiginleika eins og samhverfuásinn, topppunktinn og rætur fallsins, sem og stefnu parabólunnar. 1. Samhverfuás: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Í fallinu \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) eru gildin \( a = -1 \) og \( b = 4 \). \[ x = -\frac{4}{2(-1)} \] \[ x = -\frac{4}{-2} \] \[ x = 2 \] 2. Hnútpunktur: Setjið \(x = 2 \) inn í fallið til að finna hnútpunktinn: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] Hnútpunkturinn er \( (2, 1) \). 3. Stefna parabólunnar: Þar sem \( a = -1 \) opnast parabólan niður á við. 4. Rætur annars stigs falla: [ -x^2 + 4x - 3 = 0 ] Við getum notað annars stigs formúluna: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Fyrir ( a = -1 ), ( b = 4 ) og ( c = -3 ): [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} ] [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} ] [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} ] [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} ] Tvær lausnir: [ x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 ] [ x = \frac{-2 - 2}{-2} = 3 \] Ræturnar eru \(x = 1 \) og \(x = 3 \). Með öllum þessum upplýsingum getum við teiknað graf fyrir annars stigs fallið. Þessi parabóla hefur topppunkt í \((2, 1) \), opnast niður á við og hefur rætur í \(x = 1 \) og \(x = 3 \). Niðurstaða Með dæmunum sem rædd eru getum við betur skilið hina ýmsu eiginleika annars stigs fallsins. Þekking á því hvernig á að ákvarða samhverfuásinn, topppunktinn, hámarks- eða lágmarksgildi, stefnu parabólunnar og rætur annars stigs fallsins er nauðsynleg til að lýsa lögun og eiginleikum parabólunnar. Góður skilningur á þessum hugtökum mun veita nemendum sterkan grunn til að kanna flóknari efni í stærðfræði.