Dæmi um umræðuspurningar um greiningarrúmfræði
Pendahuluan
Greiningarrúmfræði er grein stærðfræðinnar sem sameinar algebru og rúmfræði til að leysa vandamál sem fela í sér rúm og lögun. Hún er öflugt tól sem gerir okkur kleift að greina rúmfræðileg vandamál með því að nota jöfnur og hnit. Þessi grein fjallar um nokkur dæmi um flatarmálsvandamál greiningarrúmfræðinnar og fjallar um þau ítarlega til að auðvelda dýpri skilning.
Dæmispurning 1: Línujafna
Spurning:
Gefin eru tveir punktar A(1, 2) og B(3, 7). Ákvarðið jöfnu línunnar sem fer í gegnum þessa tvo punkta.
Umræða:
Til að finna jöfnu línu sem fer í gegnum tvo punkta getum við notað hallatöluformúluna m:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
Með punktinn A(x1, y1) = (1, 2) og punktinn B(x2, y2) = (3, 7):
[m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
Næst notum við formúluna fyrir jöfnu línunnar:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
Einn punktur í staðinn, til dæmis punktur A(1, 2):
[y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1)]
Breyttu þessu formi í skýra jöfnu fyrir y:
[y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
[y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
[y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Þannig að jafna línunnar er:
[y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Dæmispurning 2: Hringur
Spurning:
Ákvarðið jöfnu hrings með miðju í punktinum C(-2, 3) og radíus 4.
Umræða:
Almenna jafna hrings með miðju í (h, k) og radíus r er:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Samkvæmt spurningunni er miðja hringsins (h, k) = (-2, 3) og radíusinn r = 4. Þannig að,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Þannig að jafna hringsins er:
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Dæmispurning 3: Parabóla
Spurning:
Ákvarðið jöfnu lóðréttrar parabólu með topppunkt í (1, -2) og brennipunkt í (1, 0).
Umræða:
Fyrir lóðrétta parabólu með topppunkt (h, k) er almenna jafnan:
\[(x – h)^2 = 4p(y – k) \]
Gefið að topppunkturinn (h, k) = (1, -2) þurfum við að finna gildið á p. Fókus parabólunnar er (h, k + p) og út frá dæminu er fókusinn (1, 0):
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
Þannig að:
\[p = 2 \]
Þannig verður almenna jafnan:
\[(x – 1)^2 = 4 ⋅ 2(y + 2) \]
\[(x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Þannig að jafna parabólunnar er:
\[(x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Dæmispurning 4: Sporbaugur
Spurning:
Gefin sporbaug með miðju í punktinum (0, 0), langás 10 og minniás 6. Ákvarðið jöfnu sporbaugsins.
Umræða:
Miðja sporbaugsins (h, k) er (0, 0), lengd langássins 2a = 10 þannig að a = 5, og lengd minniássins 2b = 6 þannig að b = 3. Almenna jafnan fyrir sporbaug með miðju í (0, 0) er:
[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Settu gildi a og b í staðinn:
[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Þannig að jafna sporbaugsins er:
[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Dæmispurning 5: Ofurstefna
Spurning:
Gefin ofurboga með miðju í (1, -3), þá er lengd þversássins 8 og lengd samtengda ásins 6. Ákvarðið jöfnu ofurbogans.
Umræða:
Fyrir ofurboga með miðju (h, k) og láréttan þversás er almenna jafnan:
[\frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
Miðja ofurbogans (h, k) er (1, -3), lengd þversássins er 2a = 8 þannig að a = 4, og lengd samtengda ásins er 2b = 6 þannig að b = 3. Þess vegna er jafna ofurbogans:
[\frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
[\frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Þannig að jafna ofurbogans er:
[\frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Niðurstaða
Greiningarrúmfræði er öflug aðferð til að greina rúmfræðileg form og uppbyggingu með því að nota algebrujöfnur. Með því að skilja grunnhugtök jöfnna fyrir línur, hringi, parabólur, sporbauga og breiðboga getum við auðveldlega leyst fjölbreytt rúmfræðiverkefni. Þessi grein veitir dæmi og umræður um mikilvæg vandamál í greiningarrúmfræði til að hjálpa þér að dýpka skilning þinn. Viðbótar æfingaverkefni geta hjálpað þér að styrkja og auka skilning þinn á þessu efni.
