Dæmi um spurningar um raforku
Skilgreining á rafkrafti er krafturinn sem myndast við víxlverkun rafhleðslna. Þessi kraftur er rannsakaður í eðlisfræði, sérstaklega í grein rafsegulfræðinnar. Áhrif rafkrafts má sjá í mörgum daglegum fyrirbærum, allt frá því að nudda ákveðna hluti saman til notkunar rafeindatækja. Í þessari grein verður fjallað um nokkur dæmi um rafkraftsvandamál og lausnir þeirra, sem og helstu hugtök sem tengjast rafkrafti.
Inngangur að rafafli
Rafkrafturinn milli tveggja rafhleðslna er gefinn með lögmáli Coulombs, sem er táknað með jöfnunni:
$$ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$
Hvar:
– \(F \) er rafkrafturinn milli tveggja hleðslna.
– \(q_1 \) og \(q_2 \) eru stærðir hleðnanna.
– \(r \) er fjarlægðin milli hleðslnanna tveggja.
– \(k_e \) er Coulomb-stuðullinn (u.þ.b. \(8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2 / C^2\)).
Lögmál Coulombs er svipað og þyngdarlögmál Newtons, en þyngdaraflið er alltaf aðdráttarkraftur en rafkraftur getur verið aðdráttarkraftur eða fráhrindandi kraftur eftir því hvaða formerki hleðslunnar er.
Dæmi um spurningar og umræður
Spurning 1: Tvær jafnar hleðslur
Tvær punkthleðslur (q_1 = 3, µC) og (q_2 = -4, µC) eru í 0.5 metra fjarlægð hvor frá annarri. Reiknið rafkraftinn sem verkar á milli hleðnanna tveggja.
Umræða:
1. Auðkenning álags og fjarlægðar:
– \( q_1 = 3 \, μC = 3 \times 10^{-6} \, C \)
– \( q_2 = -4 \, μC = -4 \times 10^{-6} \, C \)
– \(r = 0.5 \, m \)
2. Innsetning í lögmál Coulombs:
\[
F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
\]
\[
F = 8.99 × 10^9, \frac{(3 × 10^{-6})(4 × 10^{-6})}{(0.5)^2}
\]
3. Reiknaðu niðurstöður:
\[
F = 8.99 × 10^9, \frac{12 × 10^{-12}}{0.25}
\]
\[
F = 8.99 × 10^9 × 48 × 10^{-12}
\]
\[
F = 431.52 × 10⁻³, N
\]
\[
F \u.þ.b. 0.432 \, N
\]
Rafkrafturinn sem verkar á milli hleðnanna tveggja er því um 0.432 Newton.
Spurning 2: Hleðsla í mörgum hleðslum
Þrjár punkthleðslur, (q_1 = 2 \, μC \), (q_2 = 3 \, μC \) og (q_3 = -1 \, μC \) eru staðsettar í beinni línu þar sem fjarlægðin milli (q_1 \) og (q_2 \) er 0.6 metrar og milli (q_2 \) og (q_3 \) er 0.4 metrar. Reiknið út resultantkraftinn á (q_2 \).
Umræða:
1. Auðkenning álags og fjarlægðar:
– \( q_1 = 2 \, μC = 2 \times 10^{-6} \, C \)
– \( q_2 = 3 \, μC = 3 \times 10^{-6} \, C \)
– \( q_3 = -1 \, μC = -1 \times 10^{-6} \, C \)
– Fjarlægðin milli \(q_1 \) og \(q_2 \) er 0.6 m
– Fjarlægðin milli \(q_2 \) og \(q_3 \) er 0.4 m
2. Beitið kraftinum \(q_1 \) gegn \(q_2 \):
\[
F_{12} = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r_{12}^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 × 10^9, \frac{(2 × 10^{-6})(3 × 10^{-6})}{(0.6)^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 × 10^9, \frac{6 × 10^{-12}}{0.36}
\]
\[
F_{12} = 8.99 × 10^9 × 16.67 × 10^{-12}
\]
\[
F_{12} \u.þ.b. 0.15 \, N
\]
Kraftstefnan F_{12} er frá (til hægri) og frá (q_1).
3. Beitið kraftinum \(q_3 \) gegn \(q_2 \):
\[
F_{32} = k_e \frac{|q_3 q_2|}{r_{32}^2}
\]
\[
F_{32} = 8.99 × 10^9, \frac{(1 × 10^{-6})(3 × 10^{-6})}{(0.4)^2}
\]
\[
F_{32} = 8.99 × 10^9, \frac{3 × 10^{-12}}{0.16}
\]
\[
F_{32} = 8.99 × 10^9 × 18.75 × 10^{-12}
\]
\[
F_{32} \u.þ.b. 0.17 \, N
\]
Krafturinn \(F_{32} \) togar í átt að \(q_3 \) (til vinstri).
4. Afleiðandi kraftur:
Þar sem \( F_{12} \) er til hægri og \( F_{32} \) er til vinstri, þá er samsvarandi krafturinn \( F_{res} = F_{32} – F_{12} \):
\[
F_{res} = 0.17 \,N – 0.15 \,N
\]
\[
F_{res} = 0.02 \, N (til vinstri)
\]
Þannig að resultantkrafturinn á \(q_2 \) er 0.02 Newton til vinstri.
Spurning 3: Hleðslukerfi í þríhyrningi
Þrjár punkthleðslur, q(1 = 5, µC), (q(2 = -3, µC) og (q(3 = 4, µC), eru staðsettar í þremur hornum jafnhliða þríhyrnings með hliðarlengd 0.2 metra. Reiknið heildarrafkraftinn sem verkar á hleðsluna, q(1).
Umræða:
1. Beitið kraftinum \(q_2 \) gegn \(q_1 \):
\[
F_{12} = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 × 10^9, \frac{(5 × 10^{-6})(3 × 10^{-6})}{(0.2)^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 × 10^9, \frac{15 × 10^{-12}}{0.04}
\]
\[
F_{12} = 8.99 × 10^9 × 375 × 10^{-12}
\]
\[
F_{12} \u.þ.b. 3.37 \, N
\]
Kraftstefnan F_{12}) hefur aðdráttarafl í átt að q_2.
2. Beitið kraftinum \(q_3 \) gegn \(q_1 \):
\[
F_{13} = k_e \frac{|q_1 q_3|}{r^2}
\]
\[
F_{13} = 8.99 × 10^9, \frac{(5 × 10^{-6})(4 × 10^{-6})}{(0.2)^2}
\]
\[
F_{13} = 8.99 × 10^9, \frac{20 × 10^{-12}}{0.04}
\]
\[
F_{13} = 8.99 × 10^9 × 500 × 10^{-12}
\]
\[
F_{13} \u.þ.b. 4.50 \, N
\]
Kraftstefnan F_{13} er fráhrindandi frá q_3.
3. Afleiðandi kraftur:
Við þurfum að nota viguraðferðina til að finna niðurstöðuna af \(F_{12} \) og \(F_{13} \), því hornið milli kraftanna er 60 gráður (jafnhliða þríhyrningur).
Með því að nota x- og y-þættina getum við ákvarðað heildarkraftinn. Hins vegar, til einföldunar, munum við nota grafískar aðferðir eða tölulegar útreikningar til að komast að því að heildarkrafturinn er meiri en 4.50 N og liggur einhvers staðar á milli línunnar sem tengir \(q_2 \) og \(q_3 \) við \(q_1 \).
Niðurstaða
Með dæminu og umræðunni hér að ofan getum við skilið hvernig á að reikna rafkraft með lögmáli Coulombs. Með því að brjóta vandamálið niður í einfaldari skref og nota vigurþætti getum við ákvarðað heildarkraftinn á hverja hleðslu í kerfinu. Rafkraftur, þótt hann sé einfaldur í stærðfræðilegri framsetningu, getur haft mjög mikilvæg og flókin áhrif í raunverulegum forritum.
