Dæmispurningar og umræða um snertila við keilusnið
Pendahuluan
Keilusnið er ferill sem myndast við skurðpunkt flatar við tvípólkeilu. Þessar ferlar eru meðal annars hringir, sporbaugar, parabólar og breiðbogar. Eitt mikilvægt atriði í skilningi á keilusniðum er snertilínan. Snertill við keilusnið er lína sem snertir keilusnið aðeins í einum punkti. Þessi grein fjallar um nokkur dæmi um vandamál og umræður um snertila við keilusniði.
Snertill við hring
Hringur er keilusnið sem hefur einfaldasta lögun og fullkomna samhverfu. Byrjum á dæmi um snertil við hring.
Dæmi um spurningu 1
Gefinn hringur með jöfnunni \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \). Ákvarðið jöfnu snertilínunnar í punktinum \((5, -3)\) á hringnum.
Umræða
Almenna jafna hrings er \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \), þar sem \( (h, k) \) er miðja hringsins og \( r \) er radíusinn. Í þessu dæmi er miðja hringsins \((h, k) \) \((2, -3) \) og radíusinn \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Snertilinn í punktinum \((x_1, y_1)\) á hringnum má finna með eftirfarandi formúlu:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Sláðu inn þekkt gildi:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[3x = 31 \]
\[x = \frac{31}{3} \]
Jafna snertilínunnar er \(x = \frac{31}{3}\), en það er villa í þessari aðferð því punkturinn \((5, -3)\) er greinilega punktur á hringnum. Þess vegna notum við hefðbundnu aðferðina með því að setja inn hallatölu snertilínunnar í þessum tiltekna punkti:
Snertipunkturinn er, \((5, -3)\), þá er hallatöllan (m) radíuslínunnar \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\), þar sem hallatöllan á snertilínunni verður óskilgreind fyrir fyrri lóðrétta snertilinn.
Snertilínan við sporbaug
Sporbaugur er keilusnið sem hefur tvo samhverfuása: langás (langás) og stuttás (stuttanás). Hér eru nokkur dæmi um vandamál með sporbauga.
Dæmi um spurningu 2
Gefin sporbaug með jöfnunni \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\). Ákvarðið jöfnu snertilínunnar í punktinum \((2, \frac{3}{2})\) á sporbaugnum.
Umræða
Jafna snertilínunnar við sporbauginn \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) í punktinum \((x_1, y_1)\) er:
[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Með \(a = 4\) og \(b = 3\) skaltu setja inn gildi \(a\), \(b\) og punktinn \((2, \frac{3}{2})\):
[\frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Margfaldaðu alla jöfnuna með 8 til að útiloka brotin:
\[x + 4y = 8 \]
Þannig að jafna snertilínunnar við sporbauginn er \(x + 4y = 8 \).
Snertilínan við parabólu
Parabóla er keilusnið með einn samhverfuás og einn hnútpunkt. Hér eru nokkur dæmi um vandamál með parabólur.
Dæmi um spurningu 3
Gefin parabóla með jöfnunni _(y^2 = 4x_). Ákvarðið jöfnu snertilínunnar í punktinum _((1, 2)_) á parabólunni.
Umræða
Jafna snertilínunnar við parabóluna \(y^2 = 4ax \) í punktinum \((x_1, y_1)\) er:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Úr parabólujöfnunni y^2 = 4x fáum við 4a = 4 þannig að a = 1. Setjið gildið á a inn í punktinn (1, 2):
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
\[y = x + 1 \]
Þannig að jafna snertilínunnar við parabóluna er \( y = x + 1 \).
Snertilslína við ofurboga
Ofurbogi er keilusnið með tveimur greinum og tveimur asymptotum. Hér eru nokkur dæmi um vandamál með ofurbogum.
Dæmi um spurningu 4
Gefin er breiðbogi með jöfnunni \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \). Ákvarðið jöfnu snertilínunnar í punktinum \((5, 0)\) á breiðboganum.
Umræða
Jafna snertilínunnar við ofurbogann \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) í punktinum \((x_1, y_1)\) er:
[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Með \(a = 5 \) og \(b = 4 \) skaltu setja inn gildin \(a \), \(b \) og punktinn \((5, 0)\):
[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[x = 5 \]
Þannig að jafna snertilínunnar við ofurbogann er \(x = 5 \).
Niðurstaða
Snertiljar við keilusnið gegna lykilhlutverki í stærðfræði og ýmsum hagnýtum tilgangi. Að skilja hvernig á að finna jöfnur snertila við ýmsar gerðir keilusniða, svo sem hringi, sporbauga, parabóla og breiðboga, er nauðsynleg færni í stærðfræðireikningi og greinandi rúmfræði. Með dæmunum og umræðunum hér að ofan er vonast til að lesendur öðlist betri skilning á hugtökum og aðferðum til að ákvarða snertila við keilusnið.
