Dæmispurningar og umræða um inndælingar-, umsögnar- og býjunarföll
Skilgreining á falli og notagildi þess í stærðfræði er oft áhugavert umræðuefni. Í þessu samhengi rekumst við oft á hugtök eins og stungufall, yfirleðslufall og tvíleðslufall. Að skilja þessar þrjár gerðir falla er nauðsynlegt fyrir stærðfræðilega greiningu og hagnýtingu þeirra á ýmsum sviðum eins og tölvunarfræði, hagfræði og eðlisfræði.
Að skilja stungufall, umsögn og bjögunarfall
Áður en við ræðum dæmi um spurningar og umfjöllun um þær skulum við fyrst rifja upp skilgreiningar á þessum þremur föllum.
1. Innspýtingarfall (einn-á-einn fall): Fall f : A → B kallast innspýtingarfall ef fyrir hvert a1 og a2 í léni A, ef f(a1) = f(a2), þá verður a1 að vera jafnt a2. Með öðrum orðum, innspýtingarfall tryggir að aðgreindir þættir í léni A séu varpaðir á aðgreinda þætti í samléni B.
2. Súkkulað fall (á svið): Fall f : A → B kallast súkkulað ef hvert stak í léni B hefur að minnsta kosti eitt stak í léni A sem er varpað á það. Í þessu tilfelli hefur léni B engin „tóm“ stak eða engar hliðstæður frá léni A.
3. Tvíhliða fall (einn-á-einn samsvörun): Fall f : A → B kallast tvíhliða ef það er bæði innsprautandi og yfirsnúningslegt. Þetta þýðir að hvert stak í léni A hefur einstaka hliðstæðu í meðléni B, og hvert stak í meðléni B hefur einnig einstaka hliðstæðu í léni A.
Dæmi um spurningar og umræður
Spurning 1: Innspýtingarfall
Spurning:
Gefið fallið f : ℝ → ℝ sem er skilgreint sem f(x) = 2x + 3. Sannaðu að þetta fall sé stungufall.
Umræða:
Til að sanna að þetta fall sé stungufall þurfum við að sýna fram á að ef f(a) = f(b) þá er a = b.
Segjum sem svo að f(a) = f(b), þá segjum við að:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
Dragðu 3 frá báðum hliðum:
\[ 2a = 2b \]
Deilið með 2 báðum megin:
\[ a = b \]
Þar sem við höfum sýnt fram á að f(a) = f(b) veldur a = b, þá er fallið f(x) = 2x + 3 stungufall.
Spurning 2: Lýsingarfall
Spurning:
Gefið fallið g : ℝ → ℝ sem er skilgreint sem g(x) = x^3. Sannaðu að þetta fall sé yfirlöglegt fall.
Umræða:
Til að sanna að þetta fall sé surjektívt þurfum við að sýna fram á að fyrir hvert stak y í samléninu ℝ, þá er að minnsta kosti eitt stak x í léninu ℝ þannig að g(x) = y.
Látum y ∈ ℝ. Við viljum finna x þannig að:
\[x^3 = y \]
Taktu \(x = \sqrt[3]{y} \):
[g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
Þar sem fyrir hvert y í samléninu ℝ getum við fundið x sem er \( x = \sqrt[3]{y} \), þá er fallið g(x) = x^3 yfirlöglegt fall.
Spurning 3: Viðhengisföll
Spurning:
Gefið fallið h : ℝ → ℝ sem er skilgreint sem h(x) = x – 1. Sannaðu að þetta fall sé tvíhliða.
Umræða:
Inndælingarefni:
Til að sanna að h(x) sé stungufallsleg gildi þurfum við að sýna fram á að ef h(a) = h(b) þá er a = b.
Látum h(a) = h(b):
\[ a – 1 = b – 1 \]
Bætið við 1 báðum megin:
\[ a = b \]
Þar sem h(a) = h(b) veldur a = b, þá er fallið h(x) = x – 1 stungufall.
Sýkingarorð:
Til að sanna að h(x) sé surjektív, þurfum við að sýna fram á að fyrir hvert stak y í samléninu ℝ, er að minnsta kosti eitt stak x í léninu ℝ þannig að h(x) = y.
Látum y ∈ ℝ. Við viljum finna x þannig að:
\[x – 1 = y \]
Bætið við 1 báðum megin:
\[x = y + 1 \]
Þar sem fyrir hvert y í samléninu ℝ getum við fundið x þannig að x = y + 1, þá er fallið h(x) = x – 1 yfirlöglegt fall.
Þar sem h(x) er bæði stungufall og súrjektfall, þá er h(x) tvívirkt fall.
Spurning 4: Að ákvarða gerð fallsins
Spurning:
Gefið fallið f : ℕ → ℕ skilgreint sem f(x) = 2x. Ákvarðið hvort f er stungufall, yfirlögfall eða tvílægt fall.
Umræða:
Inndælingarefni:
Til að sanna að þetta fall sé stungufall þurfum við að sýna fram á að ef f(a) = f(b) þá er a = b.
Segjum sem svo að f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
Deilið með 2 báðum megin:
\[ a = b \]
Þess vegna er f(x) = 2x innspýtingarfall.
Sýkingarorð:
Til að sanna að þetta fall sé surjektívt þurfum við að sýna fram á að fyrir hvert stak y í samléninu ℕ, er að minnsta kosti eitt stak x í léninu ℕ þannig að f(x) = y.
En athugið að samlénið er ℕ (náttúrulegar tölur), en f(x) = 2x gefur aðeins sléttar tölur. Segjum sem svo að y sé oddatala, þá er ekkert x í ℕ þannig að 2x = y.
Þess vegna er f(x) = 2x ekki yfirlýsingarfall.
Þar sem f(x) er ekki súrjektív, þá er f(x) heldur ekki tvíjöfn.
Með hliðsjón af dæmunum hér að ofan getum við séð hvernig á að sanna og bera kennsl á gerðir falla (innspýtingarfalla, yfirlýsingarfalla, tvíverknaðarfalla) út frá ýmsum skilgreiningum falla. Að skilja þessi föll er mikilvægt í mörgum þáttum stærðfræðinnar og raunverulegum notkunarmöguleikum hennar.
