Dæmispurningar um föll og önnur föll: Að skilja grunnhugtök
Kynning
Í stærðfræði, sérstaklega í algebru, er hugtakið fall eitt það grundvallaratriði og mikilvægasta. Föll gera okkur kleift að skilja sambandið milli tveggja mengja á mjög kerfisbundinn hátt. Til að skilja fall þurfum við fyrst að skilja skilgreiningu þess og eiginleika. Þess vegna mun þessi grein fara yfir dæmi um vandamál og ræða föll og önnur föll. Þetta mun hjálpa okkur að öðlast dýpri skilning á þessu efni.
Skilgreining á virkni og óvirkni
Byrjum á að skilja skilgreiningu falls. Í stærðfræði er hægt að skilgreina fall sem tengsl sem tengja hvert stak í lénsmenginu við nákvæmlega eitt stak í samlénsmenginu. Með öðrum orðum, fyrir hvert stak í lénsmenginu er eitt og aðeins eitt samsvarandi stak í samlénsmenginu.
Dæmi um tengsl sem eru föll:
– Mengi A = {1, 2, 3}
– Mengi B = {4, 5, 6}
– Tengsl R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
Tengslin R eru fall vegna þess að hvert stak í mengi A er parað við aðeins eitt stak í mengi B.
Fallleysi er samband sem uppfyllir ekki þessi skilyrði, þ.e. að það sé að minnsta kosti eitt stak í upprunalega svæðinu sem er parað við fleiri en eitt stak í niðurstöðusvæðinu.
Dæmi um tengsl sem eru ekki föll:
– Mengi C = {1, 2, 3}
– Mengi D = {4, 5, 6}
– Tengsl S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
Tengslin S eru ekki fall því stakið '1' í mengi C er parað við tvö stak í mengi D (þ.e. 4 og 5).
Dæmi um spurningar og umræður
Til að dýpka enn frekar skilning okkar á föllum og ekki-föllum skulum við skoða nokkur dæmispurningar og umræður um þær.
Dæmispurning 1: Ákvörðun föll
Gefið að mengi X = {a, b, c, d} og mengi Y = {1, 2, 3, 4}, er þá sambandið skilgreint sem fall?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Umræða:
Við skulum athuga hvert stak í menginu X:
– 'a' er parað við '1'
– 'b' er parað við '2'
– 'c' parað við '3'
– 'd' parað við '4'
Þar sem hvert stak í mengi X er parað við nákvæmlega eitt stak í mengi Y, þá er sambandið R fall.
Dæmispurning 2: Að bera kennsl á föll eða ekki-föll
Gefið að mengi P = {u, v, w} og mengi Q = {5, 6, 7}. Ákvarðið hvort eftirfarandi tengsl séu fall:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Umræða:
Við skulum skoða hvert stak í menginu P:
– 'u' parað við '5'
– 'v' parað við '6'
– 'u' er einnig parað við '7'
Þar sem stakið 'u' í mengi P er parað við fleiri en eitt stak í mengi Q, þá er sambandið S ekki fall.
Dæmispurning 3: Að teikna föll úr gröfum
Gefið graf af tengslum á hnitakerfinu, ákvarðið hvort það sé fall eða ekki. Grafið sýnir eftirfarandi punkta:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
Umræða:
Hver punktur á grafinu hefur par af forminu (x, y), sem gefur til kynna að fyrir hvert gefið gildi á x er nákvæmlega eitt gildi á y tengt honum. Þar sem hvert stak í lénsmenginu er parað við nákvæmlega eitt stak í samlénsmenginu, er gefið graf graf falls.
Dæmi um verkefni 4: Föll í jöfnuformi
Ákvarðið hvort jafnan y = x² sé fall ef gefið svæðisbil er allt rauntölur.
Umræða:
Við þurfum að athuga hvort hvert x-gildi í lénssamsetningunni hafi eitt og aðeins eitt y-gildi tengt sér. Setjið nokkur x-gildi inn:
– Ef x = 1, þá er y = 1² = 1
– Ef x = 2, þá er y = 2² = 4
– Ef x = -1, þá er y = (-1)² = 1
Það sést að fyrir hvert valið gildi á x er aðeins eitt tengt gildi á y. Þess vegna er y = x² fall.
Dæmispurning 5: Föll með öfugum föllum
Látum f(x) vera fallið sem skilgreint er með f: x → x + 3. Finndu andhverfu þessa falls, ef það er til.
Umræða:
Ef f: x → x + 3, þá þurfum við að finna fall g þannig að f(g(x)) = x og g(f(x)) = x. Byrjum með jöfnunni:
– y = x + 3
Til að finna andhverfuna einangrum við x:
– x = y – 3
Þess vegna er andhverfa fallið g(y) = y – 3.
Þannig að andhverfa fallsins f(x) = x + 3 er f⁻¹(x) = x – 3.
Niðurstaða
Af umræðunni hér að ofan höfum við séð nokkur dæmi um vandamál sem fela í sér föll og ekki-föll, ásamt skýringum á þeim. Hugtakið fall kennir okkur að hvert stak í lénsmenginu verður að vera parað við nákvæmlega eitt stak í samlénsmenginu. Að bera kennsl á föll út frá gröfum og jöfnum er einnig gagnleg aðferð til að ákvarða eðli tengsla. Með því að æfa okkur á þess konar vandamálum munum við kynnast betur og skilja betur grunnhugtökin föll og ekki-föll, sem eru nauðsynleg undirstaða í algebru og annarri stærðfræðilegri greiningu.
