Dæmispurningar og umræða um keðjuregluna í afleiðum
Keðjureglan er eitt af grundvallarhugtökum í diffurreikningi og er notuð til að reikna afleiðu falls sem samanstendur af tveimur eða fleiri föllum. Í þessari grein munum við ræða grunnhugtakið á bak við keðjuregluna, hvernig á að nota hana og dæmi um notkun hennar í afleiðuverkefnum sem koma oft upp bæði í framhaldsskóla og háskóla.
1. Inngangur að keðjureglunni
Áður en við förum í dæmið um vandamálið skulum við fyrst skilja hvað keðjureglan er. Keðjureglan segir að ef við höfum tvö deildanleg föll \(f \) og \(g \), og við viljum finna afleiðu samsetningar fallanna \(h = f(g(x)) \), þá er afleiða \(h \):
[h(x) = f(g(x)) ⋅g(x)]
Einfaldlega sagt reiknum við afleiðu ytra fallsins á g(x) og margföldum síðan niðurstöðuna með afleiðu innra fallsins \(g(x) \).
2. Að skilja virkni samsetninga
Áður en við förum í dæmin er mikilvægt að skilja samsetningarföll. Samsetningarfall er fall sem fæst með því að setja eitt fall inn í annað. Til dæmis, ef við höfum \(f(x) = \sin(x) \) og \(g(x) = x^2 \), þá verður samsetning fallanna tveggja \(h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
Í samsetningarföllum hugsum við oft um \(g(x) \) sem „innra fallið“ og \(f(x) \) sem „ytra fallið“. Í þessu dæmi er innra fallið \(x^2 \) og ytra fallið sínus.
3. Dæmi um spurningar og umræður
Við skulum skoða nokkur dæmi um vandamál sem nota keðjuregluna til að leysa þau.
Dæmi 1:
Gefið fallið _(y = _cos(3x^2)_), finnið fyrstu afleiðu y með tilliti til x.
Umræða:
Fyrst greinum við innri og ytri föllin. Hér er innri fallið ∫g(x) = 3x^2 ∫ og ytri fallið er ∫f(g) = ∫cos(g) ∫.
Við vitum:
1. \(g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
Með keðjureglunni fáum við:
[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = -sin(3x^2) ⋅ 6x]
Þannig að afleiðan af \(y = \cos(3x^2) \) er:
\[y' = -6x \sin(3x^2) \]
Dæmi 2:
Finndu fyrstu afleiðu af \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
Umræða:
Hér er innra fallið \(g(x) = 5x^3 + 2x \) og ytra fallið er \(f(g) = e^g \).
Við vitum:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Með keðjureglunni fáum við:
[h'(x) = f'(g(x)) ⋅g'(x) = e^{5x^3 + 2x} ⋅(15x^2 + 2)]
Þannig að afleiðan af \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) er:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Dæmi 3:
Finndu fyrstu afleiðu af (y = ln(4x^2 – 5)).
Umræða:
Innra fallið er \(g(x) = 4x^2 – 5 \) og ytra fallið er \(f(g) = \ln(g) \).
Við vitum:
1. \(g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
Með keðjureglunni fáum við:
[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} ⋅ 8x]
Þannig að afleiðan af \(y = \ln(4x^2 – 5) \) er:
\[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Dæmi 4:
Gefið fallið \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), finnið afleiðu þess.
Umræða:
Innra fallið er \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) og ytra fallið er \(f(g) = g^4 \).
Við vitum:
1. \(g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
Með keðjureglunni fáum við:
[y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 ⋅ (6x + 2)]
Þannig að afleiðan af \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) er:
\[y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Sérstök tilvik og þróun keðjureglna
Stundum stoppar keðjureglan ekki við samsetningu aðeins tveggja falla. Það eru tilvik þar sem fall er samsetning fleiri en tveggja falla, til dæmis: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Fyrir þrjár aðgerðir er hægt að beita keðjureglunni í lögum:
[h(x) = f(g(k(x))) ⋅g(k(x)) ⋅k(x)]
Við sjáum að í hverju lagi reiknum við afleiður ytri laganna áður en við förum yfir í afleiður innri laganna.
Dæmi 5:
Gefið \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \), finnið afleiðu hennar.
Umræða:
Innsta fallið er \(k = 2x^2 + 1 \), miðfallið: \(g = \ln(k) \) og ytra fallið: \(f = \sqrt{g} \).
Við vitum:
1. \(k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Við skulum beita keðjureglunni í lögum:
[y' = f'(g(k(x))) ⋅ g'(k(x)) ⋅ k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} ⋅ \frac{1}{2x^2 + 1} ⋅ 4x \]
Þannig að afleiðan af \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) er:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulan
Keðjureglan gegnir mikilvægu hlutverki í diffurreikningi, sérstaklega þegar fjallað er um samsetningu falla. Að skilja og ná tökum á keðjureglunni veitir traustan grunn til að takast á við flóknari vandamál í stærðfræðireikningi. Þessi grein hefur fjallað um nokkur mikilvæg dæmi til að veita traustan skilning á beitingu keðjureglunnar á afleiður. Við vonum að þessi umræða sé gagnleg fyrir nemendur og hægt sé að beita henni í fjölbreyttum krefjandi stærðfræðilegum aðstæðum.
