Dæmispurningar um regluna fyrir að leggja saman tvo útilokandi atburði A og B
Í líkindafræði er summuregla tveggja atburða ein af grundvallarreglunum sem notuð eru til að reikna út líkur margra atburða. Þetta hugtak er oft notað í ýmsum aðstæðum til að skilja mögulegar útkomur ákveðinna atburða. Í þessari grein munum við ræða summureglu tveggja gagnkvæmt útilokandi atburða og gefa dæmi til að skýra þetta hugtak.
Reglan um samlagningu tveggja gagnkvæmt útilokandi atburða
Fyrst af öllu er mikilvægt að skilja hvað er átt við með gagnkvæmt útilokandi atburðum. Tveir atburðir eru sagðir vera ósamstígir eða gagnkvæmt útilokandi ef þeir geta ekki átt sér stað á sama tíma. Með öðrum orðum, ekkert stak í mengi eins atburðar er einnig stak í mengi annars atburðar.
Samlagningarreglan í líkindafræði segir að ef tveir atburðir \(A\) og \(B\) útiloka hvor annan, þá eru líkurnar á hvorum atburði \(A\) eða \(B\) summa líkanna á atburðunum tveimur. Stærðfræðilega má tákna þessa reglu sem:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B)]
þar sem \(P(A \cup B)\) er líkurnar á \(A\) eða \(B\), \(P(A)\) eru líkurnar á atburði \(A\) og \(P(B)\) eru líkurnar á atburði \(B\).
Dæmi um umræðuspurningar
Við skulum ræða nokkur dæmi til að skýra beitingu reglunnar um að leggja saman tvo gagnkvæmt útilokandi atburði.
Dæmi um spurningu 1
Spurning:
Sexhliða teningi er kastað einu sinni. Finndu líkurnar á að talan sem kemur út sé 2 eða 4.
Umræða:
Við getum skilgreint atburð \(A\) sem tilvik gildisins 2 og atburð \(B\) sem tilvik gildisins 4. Þannig:
– \(P(A)\) er líkurnar á að gildið 2 birtist.
– \(P(B)\) er líkurnar á að gildið 4 birtist.
Þar sem teningur hefur sex jafn líklegustu hliðar, þá eru líkurnar á að ákveðið gildi birtist \( \frac{1}{6} \). Þannig:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
Atburðirnir \(A\) og \(B\) útiloka hvor annan vegna þess að gildin 2 og 4 geta ekki komið fyrir samtímis í einni teningakasti. Þess vegna er samlagningarreglan notuð fyrir tvo útilokandi atburði:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Þannig að líkurnar á að gildið sem birtist sé 2 eða 4 eru \( \frac{1}{3} \) eða um 33.33%.
Dæmi um spurningu 2
Spurning:
Í poka eru 10 kúlur, fjórar rauðar og sex bláar. Ef við veljum eina kúlu af handahófi, hverjar eru líkurnar á að kúlan sem dregin er sé rauð eða blá?
Umræða:
Við getum skilgreint atburðinn \(A\) sem að taka rauða boltann og atburðinn \(B\) sem að taka bláa boltann. Þannig:
– \(P(A)\) er líkurnar á að velja rauða kúlu.
– \(P(B)\) er líkurnar á að velja bláa bolta.
Líkur hvers atburðar má reikna út á eftirfarandi hátt:
\[ P(A) = \frac{\text{Fjöldi rauðra kúlna}}{\text{Heildarfjöldi kúlna}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Fjöldi blára kúlna}}{\text{Heildarfjöldi kúlna}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Atburðirnir \(A\) og \(B\) útiloka hvor annan þar sem bolti getur ekki verið bæði rauður og blár. Þess vegna er samlagningarreglan notuð fyrir tvo atburði sem útiloka hvor annan:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Þannig að líkurnar á að kúlan sem dregin er sé annað hvort rauð eða blá eru 1, eða 100%. Þetta er rökrétt því allar kúlurnar í pokanum eru annað hvort rauðar eða bláar.
Dæmi um spurningu 3
Spurning:
Í bekk með 20 nemendum, þar sem 7 hafa gaman af stærðfræði, 5 af þeim hafa gaman af náttúrufræði og enginn hefur gaman af báðum. Ef einn nemandi er valinn af handahófi, reiknið þá líkurnar á að nemandinn hafi annað hvort gaman af stærðfræði eða náttúrufræði.
Umræða:
Við getum skilgreint atburð \(A\) sem að honum líkaði stærðfræði og atburð \(B\) sem að honum líkaði vísindi. Þannig:
– \(P(A)\) eru líkurnar á því að nemanda líki stærðfræði.
– \(P(B)\) er líkurnar á því að nemanda líki vísindi.
Líkur hvers atburðar má reikna út á eftirfarandi hátt:
\[ P(A) = \frac{\text{Fjöldi nemenda sem hafa gaman af stærðfræði}}{\text{Heildarfjöldi nemenda}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Fjöldi nemenda sem hafa áhuga á vísindum}}{\text{Heildarfjöldi nemenda}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Atburðirnir \(A\) og \(B\) útiloka hvor annan því engum nemanda líkar við þá báða. Þess vegna er samlagningarreglan notuð fyrir tvo atburði sem útiloka hvor annan:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
Þannig að líkurnar á því að handahófskennt valinn nemandi hafi áhuga á annað hvort stærðfræði eða vísindum eru \( \frac{3}{5} \) eða 60%.
Niðurstaða
Samlagningarreglan fyrir tvo gagnkvæmt útilokandi atburði er grundvallarhugtak í líkindafræði sem auðveldar útreikning á líkum á sameiginlegum atburði. Í dæmunum hér að ofan höfum við séð að þessa meginreglu er hægt að beita á raunverulegar aðstæður eins og að kasta teningum, draga kúlur úr poka eða velja nemendur úr bekk. Með því að skilja og ná tökum á þessu hugtaki getum við reiknað út líkurnar á ýmsum gagnkvæmt útilokandi atburðum í daglegu lífi á skilvirkari hátt.
