Dæmi um umræðuspurningu um beitingu afleiðna
Afleiðan er grundvallarhugtak í stærðfræðireikningi sem hefur fjölmargar notkunarmöguleika í daglegu lífi og öðrum sviðum vísinda, svo sem eðlisfræði, hagfræði, líffræði og verkfræði. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um vandamál og ræða notkun afleiðna, sérstaklega í samhengi við bestun og fallgreiningu.
Inngangur að afleiddum forritum
Afleiða falls gefur í raun upplýsingar um breytingarhraða þess með tilliti til óháðu breytunnar. Einfaldasta dæmið er hraði, sem er afleiða stöðu með tilliti til tíma. Í víðara samhengi er hægt að nota afleiður til að finna hámarks- og lágmarksgildi falls, ákvarða bil þar sem fall er vaxandi eða minnkandi og veita upplýsingar um eiginleika og grafíska hegðun falls.
Dæmispurning 1: Að finna hámarks- og lágmarksgildi
Spurning:
Ákvarðið hámarks- og lágmarkspunkta fallsins \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \).
Umræða:
1. Að finna fyrstu afleiðuna:
Til að finna gagnrýnipunktana þurfum við að finna fyrstu afleiðu fallsins og jafna hana við núll.
\[
f'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]
2. Leysið jöfnuna:
Við þáttum jöfnuna:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
Þess vegna fáum við gagnrýna punkta við \(x = 0 \) og \(x = 2 \).
3. Greinið aðra afleiðuna:
Til að ákvarða hvort gagnrýnipunktarnir eru hámarks- eða lágmarkspunktar þurfum við að finna aðra afleiðu fallsins:
\[
f”(x) = 6x – 6
\]
Mat á mikilvægum punktum:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 \, (\text{neikvætt, þannig að\ } x = 0 \text{\ er staðbundið hámark})
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 \, (\text{jákvætt, þannig að\ } x = 2 \text{\ er staðbundið lágmark})
\]
4. Reiknaðu út hámarks- og lágmarksgildin:
Settu gagnrýnu punktana inn í upprunalega fallið:
\[
f(0) = 0^3 – 3 ⋅ 0^2 + 4 = 4 ⋅ (hámarksfjöldi)
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 ⋅ 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 ⋅ (lágmark)
\]
Þannig hefur fallið \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) staðbundið hámark við \((0, 4) \) og staðbundið lágmark við \((2, 0) \).
Dæmispurning 2: Hagræðing með takmörkunum
Spurning:
Bóndi vill byggja rétthyrnt girðingarsvæði sem liggur að á. Gefið 100 metra girðingu, ákvarðið stærð girðingarinnar til að hámarka flatarmál hennar.
Umræða:
1. Gerðu jöfnu:
Segjum sem svo að lengd girðingarinnar sem liggur samsíða ánni sé \(x \) metrar og breiddin sé \(y \) metrar. Þar sem önnur hliðin liggur að ánni þarf girðinguna fyrir þrjár hliðar.
\[
2y + x = 100
\]
2. Finndu stærsta flatarmálið:
Flatarmál búrsins \( A \) er:
\[
A = x ⋅ y
\]
Úr girðingarjöfnunni getum við táknað y sem lið x:
\[
y = \frac{100 – x}{2}
\]
Þannig verður jafnan fyrir flatarmál:
\[
A(x) = x ≈ 100 – x² = 50x – x²
\]
3. Að finna fyrstu afleiðuna:
Til að finna hámarksgildið finnum við fyrstu afleiðu af \( A(x) \):
\[
A'(x) = 50 – x
\]
Jöfnun í núll:
\[
50 – x = 0 \implises x = 50
\]
4. Reiknaðu gildið á \(y \):
Setjið \(x = 50 \) inn í jöfnuna:
\[
y = \frac{100 – 50}{2} = 25
\]
Þannig að stærð búrsins sem gefur hámarksflatarmál er 50 metrar að lengd og 25 metrar að breidd.
Dæmispurning 3: Ákvörðun hámarkshraða
Spurning:
Örn hreyfist eftir beinni línu þar sem staðsetning hennar er tjáð sem fall af tíma (s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1). Ákvarðið hámarkshraða örnarinnar.
Umræða:
1. Ákvarðið hraðann (stöðuafleiða):
Hraði agnar er fyrsta afleiða stöðu með tilliti til tíma:
\[
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]
2. Ákvarðið aðra afleiðuna:
Til að finna hámarksfjölda punkta finnum við aðra afleiðuna:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]
3. Að finna mikilvæga punktinn:
Að jafna fyrstu afleiðu hraðans við núll:
\[
3t^2 – 12t + 9 = 0
\]
Deila með 3:
\[
t^2 – 4t + 3 = 0
\]
Þáttareikningur:
\[
(t – 3)(t – 1) = 0
\]
Því eru gagnrýnu punktarnir \(t = 1 \) og \(t = 3 \).
4. Greinið hröðunina til að finna hámarkshraðann:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 \implises t = 1 \text{\ er staðbundið hámark}
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 \implises t = 3 \text{\ er staðbundið lágmark}
\]
5. Útreikningur á hámarkshraða:
Setjið \(t = 1 \) inn í hraðajöfnuna:
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{ekki áhugavert})
\]
Athugaðu önnur viðeigandi mörk eða bil til að tryggja bestu lausnina.
Með þessum skrefum getum við smíðað afleiðubundið lausnarmynstur fyrir hin ýmsu notkunarvandamál hér að ofan.
Niðurstaða
Dæmin hér að ofan sýna hvernig hægt er að nota afleiður til að leysa vandamál í ýmsum samhengjum. Að finna hámarks- og lágmarksgildi, takmarkaða bestun og hreyfigreining eru aðeins fáein dæmi um notkun afleiðuhugtaksins. Að ná tökum á þessum aðferðum og tækni er nauðsynlegt fyrir þá sem stunda nám í háþróaðri stærðfræði og skyldum greinum.
