Ide ihe sitere na ọrụ
Pendahuluan
Na mgbakọ na mwepụ, ọkachasị kalkulus, ihe e ji mee ihe bụ isi echiche nke na-arụ ọrụ dị oke mkpa n'ọtụtụ ojiji. A na-eji ihe e ji mee ihe eme ihe ọ bụghị naanị na mgbakọ na mwepụ nke echiche kamakwa na sayensị, injinia, akụnụba, na ọtụtụ ngalaba ndị ọzọ. Isiokwu a ga-atụle ihe e ji mee ihe omume nke ọma, na-ekpuchi ihe ndị bụ isi ya, iwu dị mkpa, na ihe atụ ojiji.
Isi ihe ndị e ji mee ihe
Nkọwa nke ihe ndị e si na ya nweta
Ihe e ji mee ihe nke ọrụ na-akọwa ọsọ mgbanwe nke ọrụ ahụ ma e jiri ya tụnyere mgbanwe onwe ya. N'ụzọ amamihe, enwere ike ịkọwa ihe e ji mee ihe dị ka mkpọda nke ahịrị tangent nke metụrụ eserese nke ọrụ ahụ n'otu ebe.
Ọ bụrụ na \( y = f(x) \), mgbe ahụ, ihe mbụ e ji mee ihe nke \( f \) n'ihe gbasara \( x \) ka a na-egosi site na \( f'(x) \) ma ọ bụ \( \frac{dy}{dx} \). A na-enye nkọwa doro anya nke ihe e ji mee ihe nke ọma site na oke a:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Ihe Ndepụta
E nwere ọtụtụ okwu ndị a na-ejikarị eme ihe n'akwụkwọ edemede ndị e dere ede:
1. Ihe Leibniz dere: \( \frac{dy}{dx} \)
2. Ndetu Lagrange: \( f'(x) \)
3. Ihe e dere na Newton: \( y ' \)
4. Ihe e dere na Euler: \( Df(x) \)
Ihe odide ọ bụla nwere ojiji na ọnọdụ pụrụ iche ebe a na-ejikarị ha eme ihe.
Iwu Ndị Dị Mkpa n'Ịdị Iche
Iwu Mgbakwunye na Mwepụ
Ọ bụrụ na \( f(x) \) na \( g(x) \) bụ ọrụ abụọ nwere ike ịdị iche, mgbe ahụ:
\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
Iwu Mmegharị Ihe
Maka ọrụ abụọ \( u(x) \) na \( v(x) \):
\[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Iwu Nkewa
Ọ bụrụ na \( u(x) \) na \( v(x) \) bụ ọrụ abụọ, na \( v(x) \neq 0 \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Iwu Agbụ
Maka nhazi nke ọrụ abụọ \( f(u) \) na \( u(g) \):
\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Ihe atụ nke Ngwa
Ihe ndị sitere na ọrụ Polynomial
Ka e were ya na \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). Iji chọta ihe sitere na ọrụ a, anyị na-etinye iwu ndị bụ isi nke ọdịiche.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1) \]
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Ihe ndị sitere na ọrụ Exponential na Logarithmic
Ọ bụrụ na \( f(x) = e^x \), mgbe ahụ ihe e si na ya nweta ọrụ exponential bụ:
\[f'(x) = e^x \]
Maka ọrụ logarithm eke \( f(x) = \ln(x) \):
\[f'(x) = \frac{1}{x} \]
Ihe ndị sitere na ọrụ Trigonometric
Maka ọrụ trigonometric bụ isi:
– Ọ bụrụ na \( f(x) = \sin(x) \), mgbe ahụ \( f'(x) = \cos(x) \)
– Ọ bụrụ na \( f(x) = \cos(x) \), mgbe ahụ \( f'(x) = -\sin(x) \)
– Ọ bụrụ na \( f(x) = \tan(x) \), mgbe ahụ \( f'(x) = \sec^2(x) \)
Ihe sitere na Ọrụ Ngwakọta
Ka e were ya na \( f(x) = \sin(2x) \). Anyị nwere ike itinye iwu agbụ ígwè:
\[ f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Ihe ndị dị elu
Ihe ndị e ji aka dee nke abụọ na nke na-esote
Ihe nke abụọ bụ ihe nke mbụ e ji mee ihe. Ọ bụrụ na \( y = f(x) \) mgbe ahụ, a na-egosi ihe nke abụọ site na \( f”(x) \) ma ọ bụ \( \frac{d^2y}{dx^2} \). Ya mere, maka ihe nke atọ e ji mee ihe \( f”'(x) \) ma ọ bụ \( \frac{d^3y}{dx^3} \).
Ka e were ya na \( f(x) = x^4 \):
\[ f'(x) = 4x^3 \]
\[ f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
\[ f”'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
\[ f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]
Ngwa nke ihe ndị sitere na Fizik
Na fiziki, a na-ejikarị ihe ndị e ji akọwapụta ọsọ na ọsọ. Ka e were ya na \( s(t) \) bụ ọrụ nke ọnọdụ n'ihe gbasara oge \( t \). Ọsọ \( v(t) \) bụ ihe mbụ e ji akọwapụta ọnọdụ:
\[ v(t) = s'(t) \]
Acceleration \( a(t) \) bụ ihe mbụ e si nweta ọsọ ma ọ bụ ihe nke abụọ e si nweta ọnọdụ:
\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]
Mmechi
Ihe e ji mee ihe n'ọrụ bụ echiche dị mkpa na mgbakọ na mwepụ yana ọtụtụ ọrụ n'ọtụtụ ebe. Nghọta dị omimi nke ihe e ji mee ihe n'ụzọ dị ka mkpọda nke ahịrị tangent na-enye nghọta dị mkpa n'ihe gbasara njirimara na omume nke ọrụ. Ịghọta na inwe ike itinye iwu nke ọdịiche dị ka iwu agbụ, iwu ngwaahịa, na iwu nkewa dị oke mkpa maka onye ọ bụla na-amụ mgbakọ na mwepụ. Site na ihe atụ dị mfe na ojiji na fiziki, isiokwu a na-atụ anya inye nghọta zuru oke nke ide ihe e ji mee ihe n'ọrụ.
