Riemann Sum: Otu n'ime Ogidi nke Mgbakọta Ngwakọta
Na mgbakọ na mwepụ, ọkachasị na mgbakọ na mwepụ dị n'ime, echiche nke ngụkọta Riemann na-arụ ọrụ dị mkpa. Onye German a ma ama na mgbakọ na mwepụ bụ Bernhard Riemann webatara usoro a, ọ bụ ụzọ dị mkpa isi kọwaa njikọta nke ọrụ n'ime oge enyere. Ịghọta ngụkọta Riemann na-enye anyị ohere ịtụle mpaghara dị n'okpuru mgbagọ, ngwa dị mkpa n'ọtụtụ ngalaba sayensị na teknụzụ, site na fiziki ruo na akụnụba.
Iji ghọta isi ihe dị na ngụkọta Riemann, anyị ga-enyocha ihe ndị bụ isi dị na ya, gụnyere nkewa oge, ikpebi isi ihe nyocha, nhazi ego, na ojiji ha na njikọta. Ka anyị leba anya nke ọma n'isiokwu a.
Okwu Mmalite nke Echiche Ndị Bụ Isi
Nchikota Riemann bụ ụzọ isi gbakọọ ihe dị mkpa nke ọrụ n'ime oge mechiri emechi \([a, b]\). Usoro a gụnyere ikewa oge ahụ n'ime obere obere oge, ịtụle ọrụ ahụ na isi ihe dị iche iche na obere oge ọ bụla, wee chịkọta ngwaahịa nke ụkpụrụ ọrụ ahụ na ogologo nke obere oge kwekọrọ.
Nkewa Oge
Nzọụkwụ mbụ n'ịkọwa mkpokọta Riemann bụ ikewa oge \([a, b]\) n'ime obere oge nke ogologo enyere. Ka e were ya na oge \([a, b]\) kewara n'ime \(n\) akụkụ hà nhata, wee:
\[ \Delta x = \frac{b – a}{n} \]
N'okpuru nkeji ọ bụla nwere ogologo \(\Delta x\), isi ihe nkesa ndị a na-abụkarị \((x_0, x_1, x_2, …, x_n)\), ebe \(x_0 = a\), \(x_1 = a + \Delta x\), \(x_2 = a + 2\Delta x\), na ihe ndị ọzọ ruo \(x_n = b\).
Mkpebi nke Ebe Nyocha
Maka obere oge ọ bụla \([x_{i-1}, x_i]\), a chọrọ ebe nyocha \(x_i \) nke dị n'ime obere oge ahụ. Enwere ike ikpebi isi ihe a dị ka ndị a:
1. Isi Aka ekpe: \(x_i^ = x_{i-1}\)
2. Isi Aka Nri: \(x_i^ = x_i\)
3. Ebe etiti: \(x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}\)
4. Isi ihe ndị a na-anaghị akọwapụta: \(x_i \) ọ bụla bụ isi ihe ndị a na-anaghị akọwapụta na \([x_{i-1}, x_i]\)
Nhọrọ nke isi ihe nyocha nwere ike imetụta nsonaazụ nke ngụkọta Riemann, ọkachasị ma ọ bụrụ na ọrụ ahụ na-akwụsị akwụsị ma ọ bụ nwee mgbanwe ngwa ngwa.
Nhazi nke Sum
Ozugbo e mechara mkpebi nkewa oge na nyocha, nzọụkwụ ọzọ bụ ịgbakọ uru ọrụ na ebe nyocha ọ bụla \(f(x_i^)\) wee mụbaa uru ahụ site na ogologo obere oge \(\Delta x\). A kọwara ngụkọta Riemann \(R\) dị ka:
\[ R = \sum_{i=1}^nf(x_i^) \Delta x \]
Mgbe ọnụọgụgụ nke obere oge \(n\) mụbara na-enweghị oke (\(n \rightarrow \infty\)), ogologo obere oge \(\Delta x\) na-aghọ obere nke ukwuu, ngụkọta Riemann na-abịarutekwa akụkụ nke ọrụ \(f\) na oge \([a, b]\). E dere akara oke a dị ka:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i^ ) \Delta x \]
Ihe Nlereanya Mmejuputa Riemann Sum
Dịka ihe atụ, ka anyị jiri ngụkọta Riemann chọpụta ihe dị mkpa nke ọrụ \(f(x) = x^2\) na oge \([0, 1]\).
Nzọụkwụ 1: Nkewa Oge
Ka anyị kewaa oge \([0, 1]\) n'ime obere oge \(n\) nke ogologo ha nhata, mgbe ahụ ogologo nke obere oge bụ:
\[ \Delta x = \frac{1 – 0}{n} = \frac{1}{n} \]
Nzọụkwụ nke 2: Ebe Nyocha
Jiri etiti \(x_i \) iji nyochaa ọrụ dị na obere nkeji ọ bụla \([x_{i-1}, x_i]\):
\[ x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} = \frac{\left(\frac{i-1}{n}\right) + \left(\frac{i}{n}\right)}{2} = \frac{2i – 1}{2n} \]
Nzọụkwụ nke 3: Gbakọọ Ngụkọta
Uru nke ọrụ ahụ \(f(x_i^) = \left( \frac{2i – 1}{2n} \right)^2 = \frac{(2i-1)^2}{4n^2}\), mgbe ahụ ngụkọta Riemann ga-aghọ:
\[ R = \sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i – 1}{2n}\right) \Delta x = \sum_{i=1}^n \frac{(2i-1)^2}{4n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 \]
Site na nyocha ọzọ, ngụkọta nke square nke nọmba ndị na-adịghị mma na-enye akara sigma nke enwere ike ime ka ọ dịkwuo mfe ruo mgbe ọ ruru oke.
N'ikpeazụ, dịka \(n\) si aga na enweghị ngwụcha, uru nke mkpụrụ ego Riemann ga-eru nso na nsonaazụ nke ihe mejupụtara kpọmkwem:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \frac{1}{3} \]
Na nsonaazụ nyocha nke ihe mejupụtara ahụ, anyị na-enweta:
\[ \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \]
Ụdị na ojiji nke Riemann Sums
E wezụga njikọta ọdịnala, ngụkọta Riemann nwekwara ụdị dị iche iche, gụnyere ngụkọta Riemann-Kronecker na ngụkọta Riemann-Stieltjes maka oghere metric na ngwa sara mbara na nyocha ọrụ. Ọ na-abụkwa ntọala maka usoro ọnụọgụgụ dịka usoro Trapzoid na Simpson eji na kọmputa sayensị.
Na-emechi
Riemann sums na-enye ụzọ siri ike ma dị mfe iji kọwaa ma gbakọọ ihe dị iche iche n'ọtụtụ ọnọdụ mgbakọ na mwepụ. Dịka ngwa nkuzi maka nsogbu dị iche iche dị na mgbakọ na mwepụ, nghọta zuru oke nke echiche a na-emepe nghọta n'ime ojiji sara mbara nke ihe dị iche iche na ndụ n'ezie, ma na sayensị kpọmkwem na ngalaba akụ na ụba na mmekọrịta mmadụ na ibe ya. Bernhard Riemann abụghị naanị na ọ bara ọgaranya na ozizi mgbakọ na mwepụ site na nchọpụta a kamakwa o meghere ụzọ ọhụrụ na nyocha nke ihe dị iche iche nke oge a.
