Միակ տվյալների շեղումը և ստանդարտ շեղումը

Միակ տվյալների շեղումը և ստանդարտ շեղումը

Վիճակագրությունը գիտություն է, որն ուսումնասիրում է տվյալների հավաքագրումը, վերլուծությունը, մեկնաբանությունը, ներկայացումը և կազմակերպումը: Վիճակագրության կարևոր կողմերից մեկն այն է, թե ինչպես ենք մենք չափում և հասկանում տվյալների փոփոխականությունը: Փոփոխականության երկու կարևոր չափանիշներն են դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը: Այս հոդվածը մանրամասն կքննարկի դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը՝ կենտրոնանալով մեկ տվյալների բազմության վրա, բացատրելով սահմանումները, բանաձևերը, հաշվարկման քայլերը և բերելով գործնական օրինակներ՝ հասկացությունները պարզաբանելու համար:

Վարիացիայի և ստանդարտ շեղման սահմանումը

Varian
Վարիացիան չափանիշ է, որը ցույց է տալիս, թե որքանով են տվյալները տարածված միջին արժեքից։ Այն տալիս է տվյալների բազմության բազմազանության կամ տատանման ընդհանուր պատկերացում։ Մաթեմատիկական առումով, վարիացիան յուրաքանչյուր տվյալի միջին արժեքից շեղումների քառակուսիների միջինն է։

Ստանդարտ շեղում
Ստանդարտ շեղումը, որը հայտնի է նաև որպես ստանդարտ շեղում, դիսպերսիայի քառակուսի արմատն է։ Այն տեղեկատվություն է տրամադրում տվյալների բաշխման մասին նույն միավորներով, ինչ սկզբնական տվյալները, ինչը հեշտացնում է դրանց մեկնաբանությունը իրական կյանքի համատեքստերում։

Բանաձևեր և հաշվարկներ

Varian
n չափի մեկ տվյալների բազմության դիսպերսիան (σ^2) հաշվարկելու համար կարող ենք օգտագործել հետևյալ բանաձևը՝

\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n} \]

Դիմանա.
– \(x_i \)-ն i-րդ տվյալների արժեքն է։
– \( \bar{x} \)-ը տվյալների միջին կամ միջին արժեքն է։
– n-ը բազմության մեջ տվյալների քանակն է։
– (x_i – \bar{x})^2-ը յուրաքանչյուր տվյալի և դրա միջինի տարբերության քառակուսին է։

Ստանդարտ շեղում
Ստանդարտ շեղումը (σ) դիսպերսիայի քառակուսի արմատն է, ուստի բանաձևը հետևյալն է՝

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

Հաշվարկման քայլեր

Քայլ 1. Հաշվարկել տվյալների միջինը (միջին)
Առաջին քայլը տվյալների բազմության միջին (միջին) հաշվարկն է: Միջինը հաշվարկվում է՝ գումարելով բոլոր տվյալների արժեքները և բաժանելով տվյալների արժեքների քանակի վրա:

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

Քայլ 2. Հաշվարկեք յուրաքանչյուր տվյալների հավաքածուի տարբերությունը միջինի նկատմամբ
Միջին արժեքը ստանալուց հետո հաջորդ քայլը յուրաքանչյուր տվյալի արժեքի և միջինի (շեղման) միջև եղած տարբերությունը հաշվարկելն է։

\[ d_i = x_i – \bar{x} \]

Քայլ 3. Քառակուսի հաշվարկեք յուրաքանչյուր շեղումը
Հաջորդը, քառակուսիացրեք յուրաքանչյուր շեղումը։

\[ d_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]

Քայլ 4. Գումարեք բոլոր քառակուսի շեղումները
Գումարեք նախորդ քայլից ստացված բոլոր քառակուսի արդյունքները։

\[ \sum d_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]

Քայլ 5. Հաշվարկել շեղումը
Դիսպերսիան ստանալու համար շեղումների քառակուսիների գումարը բաժանեք տվյալների քանակի (n) վրա։

\[ \sigma^2 = \frac{\sum d_i^2}{n} \]

Քայլ 6. Հաշվարկել ստանդարտ շեղումը
Վերջապես, հաշվարկեք ստանդարտ շեղումը՝ վերցնելով դիսպերսիայի քառակուսի արմատը։

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

Օրինակ՝ Պերհիտունգան

Վարիացիայի և ստանդարտ շեղման հաշվարկման հասկացությունը պարզաբանելու համար դիտարկենք հետևյալ օրինակը։ Ենթադրենք, որ մենք ունենք հետևյալ տվյալների միասնական հավաքածուն՝ 4, 8, 6, 5, 3։

Քայլ 1. Հաշվարկել տվյալների միջինը
\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]

Քայլ 2. Հաշվարկեք յուրաքանչյուր տվյալների հավաքածուի տարբերությունը միջինի նկատմամբ
Յուրաքանչյուր տվյալների արժեքի և միջինի միջև տարբերությունը՝
– (4 – 5.2) = -1.2
– (8 – 5.2) = 2.8
– (6 – 5.2) = 0.8
– (5 – 5.2) = -0.2
– (3 – 5.2) = -2.2

Քայլ 3. Քառակուսի հաշվարկեք յուրաքանչյուր շեղումը
Յուրաքանչյուր շեղման քառակուսին՝
– (-1.2)^2 = 1.44
– 2.8^2 = 7.84
– 0.8^2 = 0.64
– (-0.2)^2 = 0.04
– (-2.2)^2 = 4.84

Քայլ 4. Գումարեք բոլոր քառակուսի շեղումները
\[ \sum d_i^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]

Քայլ 5. Հաշվարկել շեղումը
\[ \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]

Քայլ 6. Հաշվարկել ստանդարտ շեղումը
\[ \sigma = \sqrt{2.96} \approx 1.72 \]

Այսպիսով, այս օրինակում տվյալների դիսպերսիան 2.96 է, իսկ ստանդարտ շեղումը՝ մոտ 1.72։

Մեկնաբանություն

Վարիացիան և ստանդարտ շեղումը կարևոր տեղեկություններ են տրամադրում տվյալների տարածման վերաբերյալ: Վերոնշյալ օրինակում 2.96 վարիացիան ցույց է տալիս, որ տվյալների արժեքների միջին քառակուսային շեղումը 2.96 է: 1.72 ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս, որ միջինում տվյալների արժեքները շեղվում են միջինից 1.72 միավորով:

Ստանդարտ շեղումն ավելի հեշտ է մեկնաբանել, քանի որ այն ունի նույն միավորները, ինչ սկզբնական տվյալները: Օրինակ, եկամտի վիճակագրության համատեքստում, եթե տվյալներն ունեն 500 դոլար ստանդարտ շեղում, դա նշանակում է, որ միջին եկամուտը 500 դոլարով շեղվում է միջին եկամտից:

Կիրառումը առօրյա կյանքում

Վարիացիայի և ստանդարտ շեղման հասկացողությունը կարող է կիրառվել տարբեր ոլորտներում: Ֆինանսներում ստանդարտ շեղումը կարող է օգտագործվել ներդրումային ռիսկը չափելու համար: Կրթության մեջ այն կարող է օգտագործվել ուսանողների միջև թեստերի միավորների տատանումները գնահատելու համար: Արտադրության մեջ այն կարող է օգնել որակի վերահսկմանը՝ չափելով արտադրության տատանումները:

Եզրակացություն

Վարիացիան և ստանդարտ շեղումը երկու կարևորագույն վիճակագրական գործիքներ են տվյալների բազմության փոփոխականությունը հասկանալու համար: Վարիացիան հաշվարկելով՝ մենք կարող ենք որոշել, թե որքանով են տարածված տվյալները: Ստանդարտ շեղումը, որը վարիացիայի քառակուսի արմատն է, առաջարկում է ավելի ինտուիտիվ մեկնաբանություն և չափվում է նույն միավորներով, ինչ սկզբնական տվյալները: Հասկանալով և կարողանալով հաշվարկել այս երկու չափանիշները՝ մենք կարող ենք ավելի լավ վերլուծել տվյալները և կայացնել ավելի տեղեկացված որոշումներ: