Անկյունային իմպուլսի բանաձևը

Անկյունային իմպուլսի բանաձև

Պենդահուլուան

Անկյունային մոմենտը ֆիզիկայի կարևոր հասկացություն է, որը կապված է մարմնի պտտական ​​շարժման հետ: Այս հասկացությունը նման է գծային մոմենտին տեղափոխական շարժման մեջ: Անկյունային մոմենտը կարևոր դեր է խաղում ֆիզիկայի տարբեր ոլորտներում՝ դասական մեխանիկայից մինչև քվանտային մեխանիկա: Այս հոդվածում կքննարկվեն անկյունային մոմենտի սահմանումը, դրան առնչվող բանաձևերը, կիրառությունները առօրյա կյանքում և օրինակներ՝ ըմբռնումը խորացնելու համար:

Անկյունային իմպուլսի սահմանումը

Անկյունային մոմենտը վեկտորային մեծություն է, որը նկարագրում է մարմնի հակվածությունը շարունակել պտտվել որևէ կետի կամ առանցքի շուրջը: Անկյունային մոմենտը (\(\vec{L}\)) կախված է երկու հիմնական գործոններից՝ գծային մոմենտից (\(\vec{p}\)) և հենակետային կետի հարաբերական դիրքից (\(\vec{r}\)): Անկյունային մոմենտը սահմանվում է որպես՝

\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \]

Որտեղ՝
– \(\vec{L}\)-ն անկյունային մոմենտն է։
– \(\vec{r}\)-ն դիրքի վեկտորն է հենակետային կետի նկատմամբ։
– \(\vec{p}\)-ը գծային իմպուլսն է (\(\vec{p} = m \vec{v}\), որտեղ \(m\)-ը զանգվածն է, իսկ \vec{v}-ը՝ արագությունը):
– \(\times\)-ը ներկայացնում է երկու վեկտորների միջև խաչաձև արտադրյալը։

Անկյունային իմպուլսի բանաձև

Ֆիքսված առանցքի շուրջ անկյունային արագությամբ (\(\օմեգա\)) պտտվող կոշտ մարմնի համար անկյունային մոմենտը (\(L\)) կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ՝

\[ L = I \օմեգա \]

Որտեղ՝
– \(L\)-ն անկյունային մոմենտն է։
– \(I\)-ն մարմնի իներցիայի մոմենտն է պտտման առանցքի նկատմամբ։
– \(\օմեգա\)-ն անկյունային արագությունն է։

Իներցիայի պահ

Իներցիայի մոմենտը (\(I\)) մարմնի պտտական ​​շարժման փոփոխությունների նկատմամբ դիմադրության չափանիշ է: Իներցիայի մոմենտը կախված է մարմնի զանգվածի բաշխումից պտտման առանցքի նկատմամբ: Կոշտ մարմնի համար իներցիայի մոմենտը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.

\[ I = \sum m_i r_i^2 \]

Որտեղ՝
– \(m_i\)-ը \(i\)-րդ մասնիկի զանգվածն է։
– \(r_i\)-ը \(i\)-րդ մասնիկի հեռավորությունն է պտտման առանցքից։

Պարզ մարմինների համար իներցիայի մոմենտն ունի իր սեփական բանաձևը։ Որոշ օրինակներ են՝
– Խոռոչ գլան՝ \(I = mr^2\)
– Լրիվ գլան՝ \(I = \frac{1}{2} mr^2\)
– Լրիվ ոլորտ՝ \(I = \frac{2}{5} mr^2\)

Անկյունային իմպուլսի պահպանման սկզբունքը

Անկյունային մոմենտի պահպանման սկզբունքը նշում է, որ եթե համակարգի վրա արտաքին պտտող մոմենտ չի ազդում, ապա համակարգի ընդհանուր անկյունային մոմենտը կմնա անփոփոխ։ Սա նշանակում է.

\[ \vec{L}_{սկիզբ} = \vec{L}_{վերջ} \]

կամ

\[ I_{սկզբնական} \omega_{սկզբնական} = I_{վերջնական} \omega_{վերջնական} \]

Այս սկզբունքը շատ կարևոր է տարբեր ֆիզիկական երևույթներում, ինչպիսիք են մոլորակների շարժումը, պարողների պիրուետները և գիրոսկոպների կայունությունը։

Անկյունային իմպուլսի կիրառումը առօրյա կյանքում

Մոլորակի շարժում

Արեգակնային համակարգի մոլորակները պտտվում են Արեգակի շուրջը և ունեն գրեթե հաստատուն անկյունային մոմենտ։ Անկյունային մոմենտի փոքր փոփոխությունները կարող են փոփոխություններ առաջացնել մոլորակի ուղեծրում։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ մոլորակի վրա ազդող գրավիտացիոն ուժը զուտ պտտող մոմենտ չի առաջացնում, ուստի անկյունային մոմենտը մնում է հաստատուն։

Բալետի պարուհի պիրուետ

Բալետի պարողը կարող է մեծացնել իր պտույտի արագությունը՝ ձեռքերն ու ոտքերը մարմնին մոտեցնելով։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ իներցիայի մոմենտը նվազում է, ուստի անկյունային մոմենտը հաստատուն պահելու համար անկյունային արագությունը պետք է մեծանա։

Գիրոսկոպ

Գիրոսկոպը սարք է, որն օգտագործում է անկյունային մոմենտի սկզբունքը՝ կայունությունը պահպանելու համար: Գիրոսկոպները օգտագործվում են տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են ինքնաթիռների, նավերի և սմարթֆոնների նավիգացիան:

Օրինակ հարցեր և լուծումներ

Օրինակ՝ հարց 1

2 կգ զանգվածով և 0,5 մետր շառավղով սկավառակը պտտվում է 10 ռադ/վ անկյունային արագությամբ։ Հաշվարկեք սկավառակի անկյունային մոմենտը։

Լուծում.
Սկավառակի իներցիայի մոմենտը (\(I\)) տրվում է բանաձևով.

\[ I = \frac{1}{2} պարոն^2 \]

Մուտքագրեք տրված արժեքները՝

\[ I = \frac{1}{2} x 2, կգ} x (0,5, մ)^2 = \frac{1}{2} x 2 x 0,25 = 0,25, կգ մ^2]

Անկյունային իմպուլսը (\(L\)) հավասար է՝

\[ L = I ≤ 0,25 \, \text{կգ} \cdot \text{մ}^2 \times 10 \, \text{ռադ/վրկ} = 2,5 \, \text{կգ} \cdot \text{մ}^2/\text{վրկ} \]

Օրինակ՝ հարց 2

0,8 կգ·մ² սկզբնական իներցիայի մոմենտով չմշկորդը պտտվում է 5 ռադ/վ անկյունային արագությամբ։ Եթե նա հետ քաշի ձեռքերը, և նրա իներցիայի մոմենտը նվազի մինչև 0,4 կգ·մ², որքա՞ն է նրա վերջնական անկյունային արագությունը։

Լուծում.
Կիրառելով անկյունային մոմենտի պահպանման սկզբունքը՝

\[ I_{սկզբնական} \omega_{սկզբնական} = I_{վերջնական} \omega_{վերջնական} \]

Մուտքագրեք տրված արժեքները՝

0,8 կգ մ^2 անգամ 5, ռադ/վ = 0,4 կգ մ^2 անգամ օմեգա_{end}]

\[ 4 \, \text{կգ} \cdot \text{մ}^2/\text{վ} = 0,4 \, \text{կգ} \cdot \text{մ}^2 \times \omega_{end} \]

\[ \omega_{end} = \frac{4 \, \text{կգ} \cdot \text{մ}^2/\text{վ}}{0,4 \, \text{կգ} \cdot \text{մ}^2} = 10 \, \text{ռադ/վ} \]

Եզրակացություն

Անկյունային մոմենտը կարևոր հասկացություն է, որը կապված է մարմինների պտտական ​​շարժման հետ։ Անկյունային մոմենտի հիմնական բանաձևերը՝ \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) և \(L = I \omega\), հիմք են հանդիսանում ֆիզիկական երևույթների լայն շրջանակը հասկանալու համար։ Անկյունային մոմենտի պահպանման սկզբունքը օգնում է բացատրել և կանխատեսել պտտվող համակարգերի վարքագիծը բազմաթիվ իրավիճակներում՝ մոլորակների շարժումից մինչև բալետ։ Անկյունային մոմենտի հասկացությունը և կիրառությունները հասկանալով՝ մենք կարող ենք ավելի լավ գնահատել տիեզերքում պտտական ​​շարժման գեղեցկությունն ու բարդությունը։