Անընդհատության հավասարման նյութ
Փորձեք դանդաղ բացել ջրի ծորակը՝ միաժամանակ դիտարկելով ծորակից դուրս եկող ջրի հոսքը: Երբ ծորակը դադարի պտտվել, մասամբ փակեք ծորակը ձեր ձեռքով: Հիմա համեմատեք, թե որ ջրի հոսքն է ավելի մեծ: Երբ է մասամբ խցանված, թե՞ ոչ: Եթե ունեք խողովակ, որը սովորաբար օգտագործվում է ծաղիկներ ջրելու համար, թողեք ջուրը հոսի դրա միջով: Մասամբ փակեք խողովակը ձեր ձեռքով կամ մատով: Որքան խողովակի մեծ մասն է խցանված, այնքան արագ ջուրը կհոսի: Եվ հակառակը, եթե խողովակը խցանված չէ, ջուրը կհոսի ավելի դանդաղ: Ինչո՞ւ է դա այդպես: Սա հասկանալու համար, խնդրում ենք ուսումնասիրել անընդհատության հավասարումը:
Հոսքային գծեր և հոսքի խողովակներ
Նախ, եկեք հասկանանք հոսանքի գծերի և հոսքի խողովակների հասկացությունները: Այս հասկացությունը կարևոր է, քանի որ այն կօգնի ձեզ հասկանալ անընդհատության հավասարումը:
Հոսքի գիծ
Նայեք ստորև բերված նկարին, կապույտ գիծը Streamline-ն է։
Հաստատուն հոսքի դեպքում, յուրաքանչյուր հեղուկ մասնիկի արագությունը որևէ կետում, ասենք՝ A կետում, մնում է անփոփոխ։ Երբ այն անցնում է B կետով, հեղուկի մասնիկների արագությունը կարող է փոխվել։ Այնուամենայնիվ, B կետ հասնելուն պես, հետևող հեղուկի մասնիկները շարունակում են հոսել նույն արագությամբ, ինչ նախորդող հեղուկի մասնիկները։ Նույնը վերաբերում է նաև C կետ հասնելուն և այլն։ Հոսքի գիծը A, B և C կետերը միացնող կորն է։
Հոսքի խողովակ
Ըստ էության, մենք կարող ենք յուրաքանչյուր հոսանքի գիծ անցկացնել հեղուկի հոսքի յուրաքանչյուր կետի միջով։ Եթե դիտարկենք հեղուկի կայուն հոսքը, մի շարք հոսանքի գծեր, որոնք անցնում են որոշակի անկյան տակ երևակայական մակերեսի վրա (երևակայական մակերեսի մակերես), կազմում են հոսքի խողովակ։ Հեղուկի ոչ մի մասնիկ չի հատվում միմյանց հետ, այլ միշտ զուգահեռ են, և հոսքի խողովակը կնմանվի մի խողովակի, որը միշտ նույն ձևն ունի։ Խողովակի մի ծայրից մտնող հեղուկը դուրս կգա խողովակից մյուս ծայրից։
Դեբետ
Արտանետումը ցույց է տալիս որոշակի ժամանակահատվածում որոշակի լայնական հատույթով հոսող հեղուկի ծավալը։ Մաթեմատիկորեն այն կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ.
Ձեր պատկերացումն ավելի լավ հասկանալու համար, եկեք օրինակ օգտագործենք։ Ենթադրենք, որ հեղուկը հոսում է խողովակի միջով։ Խողովակները սովորաբար գլանաձև են և ունեն որոշակի լայնական հատույթ։ Խողովակն ունի նաև երկարություն։
Երբ հեղուկը խողովակում հոսում է մինչև L կետը, ապա խողովակում հեղուկի ծավալը V = AL է (V = հեղուկի ծավալ, A = լայնական հատույթի մակերես և L = խողովակի երկարություն): Քանի որ խողովակում L կետով հոսքի ընթացքում հեղուկը անցնում է որոշակի ժամանակային միջակայք, ապա կարող ենք ասել, որ հեղուկի արտանետման մեծությունը հետևյալն է.
Քանի որ v = s/t = L/t —> L = vt, վերը նշված հավասարումը փոխվում է հետևյալի՝
Այսպիսով, երբ հեղուկը որոշակի ժամանակահատվածում հոսում է որոշակի լայնական հատույթի մակերես և երկարություն ունեցող խողովակով, հեղուկի արտանետման մեծությունը (Q) հավասար է լայնական հատույթի մակերեսի մակերեսին (A) բազմապատկած հեղուկի հոսքի արագությամբ (v):
Անընդհատության հավասարում
Դիտարկենք հեղուկի հոսքը տարբեր տրամագծեր ունեցող խողովակում, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում։
Այս պատկերը ցույց է տալիս հեղուկի հոսքը ձախից աջ (հեղուկը հոսում է մեծ տրամագծով խողովակից դեպի փոքր տրամագծով խողովակ): Կետավոր գծերը հոսանքի գծեր են:
Պատկերի վերնագիր՝ Ա1 = մեծ տրամագծով խողովակի հատվածի լայնական հատվածքը, Ա2 = փոքր տրամագծով խողովակի հատվածի լայնական հատվածը, v1 = հեղուկի հոսքի արագությունը մեծ տրամագծով խողովակի հատվածում, v2 = հեղուկի հոսքի արագությունը փոքր տրամագծով խողովակի հատվածում, L = հեղուկի անցած ճանապարհը։
Հեղուկների դինամիկայի ներածության մեջ բացատրվեց, որ հեղուկների դինամիկայում մենք քննարկում ենք անհպում, անթափանցիկ, ոչ տուրբուլենտ և հաստատուն հեղուկների հոսքը։ Հաստատուն հոսքի դեպքում հեղուկի մասնիկների արագությունը տվյալ կետում նույնն է, ինչ այդ կետով անցնող մյուս հեղուկ մասնիկների արագությունը։ Հեղուկի հոսքերը նույնպես չեն հատվում միմյանց հետ (հոսքագծերը զուգահեռ են)։ Հետևաբար, խողովակի մի ծայր մտնող հեղուկի զանգվածը պետք է հավասար լինի մյուս ծայրից դուրս եկող հեղուկի զանգվածին։ Եթե որոշակի զանգված ունեցող հեղուկը մտնում է մեծ տրամագծով խողովակ, ապա այդ հեղուկը խողովակից դուրս կգա փոքր տրամագծով՝ հաստատուն զանգվածով։
Հիմա նայեք վերևում գտնվող խողովակի նկարին։ Նայեք խողովակի մեծ տրամագծով և փոքր տրամագծով մասին։
Որոշակի ժամանակահատվածում որոշակի քանակությամբ հեղուկ է հոսում մեծ տրամագծով (A) խողովակի հատվածով։1) մինչև Լ1 (L1 = v1 տ). Հոսող հեղուկի ծավալը V է։1 = Ա1 L1 = Ա1 v1 Նույն ժամանակահատվածում հեղուկի մեկ այլ քանակություն է հոսում խողովակի ավելի փոքր տրամագծով (A) հատվածով։2) մինչև Լ2 (L2 = v2 տ). Հոսող հեղուկի ծավալը V է։2 = Ա2 L2 = Ա2 v2 t.
Անսեղմելի հեղուկների անընդհատության հավասարում (անսեղմելի)
Նախ, դիտարկենք անսեղմելի հեղուկի դեպքը։ Անսեղմելի հեղուկում հեղուկի խտությունը կամ զանգվածը միշտ նույնն է այն յուրաքանչյուր կետում, որով այն անցնում է։ A լայնական հատույթի մակերեսով խողովակում հոսող հեղուկի զանգվածը հավասար է1 (խողովակի մեծ տրամագիծը) որոշակի ժամանակահատվածում կազմում է.
Նմանապես, A լայնական հատույթի մակերես ունեցող խողովակում հոսող հեղուկի զանգվածը2 (փոքր խողովակի տրամագիծը) որոշակի ժամանակահատվածում կազմում է.
Հաշվի առնելով, որ հաստատուն հոսքի դեպքում մտնող հեղուկի զանգվածը նույնն է, ինչ դուրս եկող հեղուկի զանգվածը, ապա՝
m1 = մ2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t (հեղուկի խտությունը և ժամանակային միջակայքը նույնն են, ուստի դրանք չեզոքանում են)
A1 v1 = Ա2 v2
Այսպիսով, անսեղմելի հեղուկներում կիրառվում է անընդհատության հավասարումը.
A1 v1 = Ա2 v2 — Հավասարում 1
Տեղեկություն:
A1 = լայնական հատույթի մակերես 1, A2 = լայնական հատույթի մակերես 2, v1 = հեղուկի հոսքի արագությունը հատույթ 1-ում, v2 = հեղուկի հոսքի արագությունը հատույթ 2-ում, A v = ծավալային հոսքի արագություն V/t, այսինքն՝ արտանետում
Հավասարում 1-ը ցույց է տալիս, որ ծավալային հոսքի արագությունը, որը հայտնի է նաև որպես արտանետում, միշտ նույնն է խողովակի կամ հոսքագծային խողովակի երկայնքով յուրաքանչյուր կետում: Խողովակի լայնական հատույթի փոքրացմանը զուգընթաց հեղուկի հոսքի արագությունը մեծանում է. ընդհակառակը, խողովակի լայնական հատույթի մեծացմանը զուգընթաց հեղուկի հոսքի արագությունը նվազում է:
Երբ մենք մասամբ խցանում ենք ծորակը, ջրի հոսքը դառնում է ավելի արագ, քան երբ ծորակը մասամբ փակ է։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ ծորակի մասամբ փակ լինելու դեպքում ծորակի լայնական հատույթի մակերեսը նվազում է, ինչը մեծացնում է ջրի հոսքի արագությունը (հեղուկն ավելի արագ է հոսում)։ Նույնը վերաբերում է նաև խողովակներին։ Այնուամենայնիվ, կարևոր է նշել, որ արտանետման կամ ծավալային հոսքի արագությունը մնում է նույնը ջրի հոսքի բոլոր կետերում, անկախ նրանից, թե ծորակը մասամբ փակ է, թե ոչ։ Այսպիսով, փոխվում է հեղուկի հոսքի արագությունը։
Իսկ ի՞նչ կասեք գետի ջրի հոսքի մասին: Գետի ավելի խորը հատվածներն ունեն ավելի մեծ լայնական կտրվածք, քան ավելի մակերեսային հատվածներում, ուստի ավելի խորը հատվածներում ջրի հոսքի արագությունը ավելի ցածր է, քան ավելի մակերեսային հատվածներում: Եթե տեսնում եք շատ հանգիստ գետային հոսք, դա նշանակում է, որ գետը խորն է: Բայց եթե գետը հանկարծակի արագահոս է դառնում, այդ հատվածը անկասկած մակերեսային է: Այնուամենայնիվ, ջրի ծավալային հոսքի արագությունը միշտ նույնն է՝ անկախ նրանից, թե գետի խորը, թե հանգիստ հատվածներում:
Սեղմելի հեղուկների անընդհատության հավասարում (սեղմելի)
Սեղմելի հեղուկի դեպքում (սեղմելի), հեղուկի խտությունը միշտ չէ, որ նույնն է։ Այլ կերպ ասած, հեղուկի խտությունը փոխվում է, երբ այն սեղմվում է։ Եթե մենք հեղուկի խտությունը հանենք անսեղմելի հեղուկի հավասարումից, ապա այս դեպքում հեղուկի խտությունը դեռևս ներառված է։ Նախկինում ստացված հավասարումը որպես ուղեցույց օգտագործելով՝ եկեք ստացնենք սեղմելի հեղուկի հավասարումը։
Հաշվի առնելով, որ հաստատուն հոսքի դեպքում մտնող հեղուկի զանգվածը նույնն է, ինչ դուրս եկող հեղուկի զանգվածը, ապա՝
m1 = մ2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
Հեղուկի հոսքի ժամանակային միջակայքը նույնն է, ուստի այն կարելի է բացառել։ Հավասարումը փոխվում է հետևյալի՝
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → Հավասարում 2
Սա սեղմելի հեղուկի հավասարումն է։ Միակ տարբերությունը հեղուկի խտության մեջ է։ Երբ հեղուկը սեղմվում է, նրա խտությունը փոխվում է։ Եվ հակառակը, երբ հեղուկը անսեղմելի է, նրա խտությունը մնում է անփոփոխ և կարող է չեզոքացվել։
Օրինակ հարց 1:
Ջուրը հոսում է 10 սմ տրամագծով խողովակով 2 մ/վ արագությամբ։ Որքա՞ն է ջրի ելքը։
Քննարկում
Հայտնի է, որ՝
Խողովակի տրամագիծը = 10 սմ (սա խողովակի ներքին տրամագիծն է)
Խողովակի շառավիղը (r) = 5 սմ = 0,05 մ
v ջուր = 2 մ/վ
Հարցրեց. Դեբետ
Պատասխան՝
Q = A v
Q = (π r2) (2 մ/վ)
Q = (3,14)(0,05 մ)2 (2 մ/վ)
Q = (3,14)(0,0025 մ2)(2 մ/վ)
Q = 0,0157 մ3 / վ
Օրինակ հարց 2:
20 սմ տրամագծով ջրատարը միացված է 10 սմ տրամագծով մեկ այլ խողովակի։ Եթե 20 սմ տրամագծով խողովակում ջրի հոսքի արագությունը = 4 մ/վ է, ապա որքա՞ն է 10 սմ տրամագծով խողովակում ջրի հոսքի արագությունը։
Քննարկում
Հայտնի է, որ՝
Տրամագիծ 1 = 20 սմ (r1 = 10 սմ = 0,1 մ)
v1 = 4 մ/վ
Տրամագիծ 2 = 10 սմ (r2 = 5 սմ = 0,05 մ)
Հարցրեց՝ վ1
Պատասխան՝
Q1 = Q2
A1 v1 = Ա2 v2
(π r12) (4 մ/վ) = (π r22) (վ2)
(0,1 մ)2 (4 մ/վ) = (0,05 մ)2 (v2)
(0,01 մ2)(4 մ/վ) = (0,0025 մ2)(v2)
(0,04 մ3 /վ) = (0,0025 մ2)(v2)
v2 = 16 մ/վ
