Շոշափող գծի և շրջանագծի հավասարումը
Շրջանակը երկրաչափական ամենահիմնարար մարմիններից մեկն է և հաճախ հանդիպում է գիտության տարբեր ոլորտներում՝ սկսած տարրական մաթեմատիկայից մինչև քաղաքացիական ճարտարագիտություն և ճարտարապետություն: Վերլուծական երկրաչափության մեջ շրջանագծերի հետ կապված հիմնական հասկացություններից մեկը շրջանագծին շոշափող գծի հավասարումն է: Շրջանակագծին շոշափող գծի հավասարումը հասկանալը բացում է երկրաչափական մարմինների միջև եղած կապերի և դրանց կիրառությունների ավելի խորը ըմբռնում առօրյա կյանքում: Այս հոդվածը մանրամասն կբացատրի շրջանագծին շոշափող գծի հավասարումը՝ սկսելով հիմնական հասկացությունից և հավասարումը ստանալով, ինչպես նաև օրինակներ կիրառելով:
Շրջանագծին տանգենսի հիմնական հասկացությունը
Շրջանակի շոշափողը մի գիծ է, որը շոշափում է շրջանագիծը միայն մեկ կետում՝ առանց այն հատելու։ Այս կետը, որտեղ գիծը և շրջանագիծը հատվում են, կոչվում է շոշափման կետ։ Շրջանակը պարզապես երկու կետերում հատող ուղիղներից տարբերվող շոշափողները ունեն եզակի հատկություն՝ շրջանագծի յուրաքանչյուր շոշափող ուղղահայաց է շրջանագծի շառավղին այդ կետում։
Շրջանագծերի և գծերի ընդհանուր հավասարումներ
Մինչև շոշափող գծի հավասարումը քննարկելը, անհրաժեշտ է նախ իմանալ շրջանագծի և գծի ընդհանուր հավասարումը կարտեզյան կոորդինատներով։
Շրջանաձև հավասարում
(h, k) կետում կենտրոնով և (r) շառավղով շրջանագիծն ունի հետևյալ հավասարումը.
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Գծային հավասարում
Դեկարտյան հարթության վրա գծերը կարող են արտահայտվել մի քանի ձևերով, որոնցից ամենատարածվածը թեքության հատման ձևն է։
\[ y = mx + c \]
որտեղ \(m\)-ը գծի թեքությունն է (կամ թեքությունը), իսկ \(c\)-ը՝ y առանցքի շուրջ հատվող կետը (կտրիչը)։
Շոշափող գծի և շրջանագծի հավասարման որոշումը
Շրջանագծին շոշափող գծի հավասարումը որոշելու համար կան մի քանի մեթոդներ։ Ահա ամենատարածված մեթոդներից մի քանիսը։
Մեթոդ 1. Գրադիենտի և շոշափելի կետերի օգտագործումը
Եթե մենք գիտենք (x_1, y_1)) շոշափող կետը (h, k) կենտրոնով շրջանագծի վրա), կարող ենք օգտագործել այն երկրաչափական հատկությունը, որ շոշափող գիծը ուղղահայաց է շրջանագծի շառավղին շոշափող կետում։ Եթե (h, k)) և (x_1, y_1)) կետերով անցնող շառավղի թեքությունը հետևյալն է՝
\[ m_{շառավիղ} = \frac{y_1 – k}{x_1 – h} \]
Այնուհետև շառավղային գծին ուղղահայաց շոշափող գծի թեքությունը հետևյալն է՝
\[ m_{տանգենս} = -\frac{1}{m_{շառավիղ}} = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k} \]
Շոշափող գծի թեքությունը հայտնի լինելով՝ կարող ենք գրել շոշափող գծի հավասարումը թեքության հատման կետի տեսքով՝ օգտագործելով \((x_1, y_1)\ կետը):
\[ y – y_1 = m_{տանգենս}(x – x_1) \]
Կամ ստանդարտ տեսքով՝
\[ y – y_1 = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k}(x – x_1) \]
Մեթոդ 2. Փոխարինման և դիսկրիմինանտի օգտագործումը
Տեղափոխման և դիսկրիմինանտի մեթոդով հայտնի շրջանագծի շոշափողը գտնելու համար մենք սկսում ենք շրջանագծի հավասարումը գրելով և գծի ընդհանուր հավասարումը ավելացնելով։ Գծի ընդհանուր հավասարումը \(y = mx + c \) է։ Միացնելով սա շրջանագծի հավասարման հետ՝
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Շրջանագծի հավասարման մեջ y-ն փոխարինեք mx + c-ով։
\[ (x – h)^2 + (mx + c – k)^2 = r^2 \]
Այս հավասարումը այնուհետև ընդլայնվում է ստանդարտ քառակուսային տեսքով՝ \(Ax^2 + Bx + C = 0\): Որպեսզի գիծը շոշափի շրջանագիծը, \(x\)-ը պետք է ունենա ճիշտ մեկ լուծում, ուստի քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը պետք է հավասար լինի զրոյի: Քառակուսային հավասարման \(Ax^2 + Bx + C = 0\) դիսկրիմինանտը հետևյալն է՝
\[ D = B^2 – 4AC \]
D = 0 բանաձևի միջոցով կարող ենք որոշել m և c արժեքները, որոնք գիծը շոշափում են շրջանագծին։
Կիրառման օրինակներ
Օրինակ 1. Շոշափող գծի հավասարման որոշումը
Ենթադրենք, որ մենք ունենք շրջանագիծ՝ \((x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \) հավասարմամբ, և մենք ուզում ենք իմանալ \((-1, 5)\) կետով անցնող շոշափող գծի հավասարումը։
Նախ, ստուգում ենք, թե արդյոք կետը գտնվում է շրջանագծի վրա։ Շրջանակի հավասարման մեջ տեղադրելով \((x, y) = (-1, 5)\)՝
\[ (-1 – 3)^2 + (5 + 4)^2 = (-4)^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 \]
Քանի որ \(97 \neq 25\) կետը շրջանագծի վրա չէ։ Այնուամենայնիվ, մենք դեռ կարող ենք գտնել այս կետով անցնող և շառավղին ուղղահայաց ուղիղ՝ շոշափման կետում։
Նախ, մենք գտնում ենք կետով անցնող շառավղի թեքությունը՝
\[ m_{շառավիղ} = \frac{5 + 4}{-1 – 3} =\frac{9}{-4} = -\frac{9}{4} \]
Այսպիսով, շոշափող գծի թեքությունը հետևյալն է.
\[ m_{տանգենս} = -\frac{1}{m_{շառավիղ}} = \frac{4}{9} \]
Այս թեքությունը օգտագործող և \(-1,5)\) կետով անցնող շոշափող գծի հավասարումը հետևյալն է.
\[ y – 5 = \frac{4}{9}(x + 1) \]
Եզրակացություն
Շրջանագծի շոշափողի հավասարումը շատ պարզ երկրաչափական հասկացություն է, սակայն այն լայն կիրառություն ունի բազմաթիվ ոլորտներում: Հասկանալով շոշափողների հատկությունները և դրանց հավասարումները որոշելու մեթոդները՝ մենք կարող ենք կիրառել այս հասկացությունը մաթեմատիկայի և գիտության մեջ բազմազան խնդիրներ լուծելու համար:
Շրջանագծերի և շոշափողների ըմբռնումը նաև բացում է ավելի լայն պատկերացումներ գիտության զարգացման, մասնավորապես՝ վերլուծական մաթեմատիկայի վերաբերյալ: Համակարգված մոտեցման միջոցով մենք կարող ենք կապել երկչափ տարածության տարբեր տարրեր՝ ամրապնդելով երկրաչափական հիմունքների մեր ըմբռնումը, որը կարող է ծառայել որպես հիմք երկրաչափության և տարածական վերլուծության հետագա ուսումնասիրությունների համար:
