Վեկտորները ֆիզիկայում

Վեկտորները ֆիզիկայում. հասկացություններ և կիրառություններ

Վեկտորները ֆիզիկայի կարևորագույն մաթեմատիկական հասկացություն են: Ի տարբերություն սկալյարների, որոնք ունեն միայն մեծություն (կամ արժեք), վեկտորներն ունեն և՛ մեծություն, և՛ ուղղություն: Վեկտորների և դրանց կիրառությունների խորը ըմբռնումը ֆիզիկայում կարող է օգնել մեզ ավելի ճշգրիտ և ինտուիտիվ բացատրել բնական երևույթները:

Վեկտորների հասկացողությունը

Պարզ ասած՝ վեկտորը մաթեմատիկական միավոր է, որը ներկայացված է ուղղությունը ցույց տվող նետով և ունի որոշակի երկարություն, որը ներկայացնում է դրա մեծությունը։ Այս երկարությունը հաճախ անվանում են «մեծություն» կամ վեկտորային մեծություն։

Այս հասկացությունն ավելի լավ հասկանալու համար պատկերացրեք A կետից B կետ քայլելը։ Այս երկու կետերի միջև հեռավորությունը սկալյար մեծություն է, բայց A-ից B շարժման ուղղությունը ներմուծում է վեկտորի հասկացությունը։ Ձեր վերջնական դիրքը մեկնարկային կետի նկատմամբ կախված է ոչ միայն նրանից, թե որքան հեռու եք քայլում, այլև նրանից, թե որ ուղղությամբ եք քայլում։

Վեկտորային ներկայացում

Մաթեմատիկական նշագրության մեջ վեկտորները սովորաբար գրվում են թավատառ տառերով, օրինակ՝ v, կամ որպես տառեր՝ վերևում սլաքով, օրինակ՝ \( \vec{v} \): Երկչափ վեկտորները կարող են ներկայացվել որպես կարգավորված զույգեր \((v_x, v_y) \), որտեղ \(v_x \) և \(v_y \) վեկտորի բաղադրիչներն են x- և y-ուղղություններով:

Եռաչափ վեկտորի համար ներկայացումը դառնում է \((v_x, v_y, v_z) \): Այս բաղադրիչները սովորաբար գտնվում են սկզբնական վեկտորի x, y և z առանցքների վրա պրոյեկցիայի միջոցով և կարող են պատկերվել կարտեզյան կոորդինատային համակարգում:

Գործողություններ վեկտորների վրա

Վեկտորների գումարում և հանում

Վեկտորների գումարումը կատարվում է դրանց բաղադրիչները գումարելով։ Օրինակ, եթե \(\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)\) և \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), ապա \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\) վեկտորների գումարը կլինի՝

\[
\vec{w} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z)
\]

Վեկտորի հանումը կատարվում է նույն ձևով, այսինքն՝ նրա բաղադրիչները հանելով։ Այսպիսով, \(\vec{w} = \vec{u} – \vec{v}\) հավասար է՝

\[
\vec{w} = (u_x – v_x, u_y – v_y, u_z – v_z)
\]

Վեկտորների բազմապատկումը սկալյարներով

Վեկտորի սկալյարով բազմապատկումը \(k\) կատարվում է՝ վեկտորի յուրաքանչյուր բաղադրիչը բազմապատկելով այդ սկալյարով։ Օրինակ, եթե \(k\)-ն սկալյար է և \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), ապա վեկտորը սկալյարով բազմապատկելու արդյունքը կլինի՝

\[
k \cdot \vec{v} = (k v_x, k v_y, k v_z)
\]

Վեկտորային բազմապատկում (կետային արտադրյալ և խաչաձև արտադրյալ)

Վեկտորային բազմապատկման երկու հիմնական տեսակ կա՝ կետային արտադրյալ և խաչաձև արտադրյալ։

Կետային արտադրյալը գործողություն է, որը ստանում է սկալյար արտադրյալ։ Օրինակ՝ \(\vec{u}\) և \(\vec{v}\) վեկտորների համար՝

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z
\]

Այս գործողությունը կիրառվում է բազմազան կիրառություններում, այդ թվում՝ մեկ վեկտորի պրոյեկցիան մյուսի վրա որոշելիս։

Խաչաձև արտադրյալը գործողություն է, որը ստեղծում է նոր վեկտոր, որը ուղղահայաց է երկու սկզբնական վեկտորներին։ Օրինակ՝ \(\vec{u}\) և \(\vec{v}\ վեկտորների համար՝

\[
u անգամ v = (u_y v_z – u_z v_y, u_z v_x – u_x v_z, u_x v_y – u_y v_x)
\]

Խաչաձև արտադրյալները լայնորեն կիրառվում են ֆիզիկայում, հատկապես պտույտների և ուժի մոմենտների հետ կապված դեպքերում։

Վեկտորների կիրառությունները ֆիզիկայում

Հաջորդ քայլը տեսնելն է, թե ինչպես են այս հասկացությունները կիրառվում ֆիզիկայում։

Կինեմատիկա

Կինեմատիկայում դիրքը, արագությունը և արագացումը կարող են ներկայացվել որպես վեկտորներ: Մարմնի դիրքը (t) կետում կարող է ներկայացվել որպես դիրքի վեկտոր (v(r)) (t)): Արագությունը, որը դիրքի փոփոխության արագությունն է ժամանակի նկատմամբ, դիրքի առաջին ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ։

\[
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
\]

Արագացումը, որը արագության փոփոխության արագությունն է ժամանակի նկատմամբ, արագության առաջին ածանցյալն է կամ դիրքի երկրորդ ածանցյալը՝

\[
Վեկ(ա)(տ) = Վեկ(վ)(տ)}{դտ) = Վեկ(դ^2)(ր)(տ)}{դտ^2)
\]

Դինամիկա

Դինամիկայում վեկտորների օգտագործումը հիմնարար նշանակություն ունի։ Օրինակ՝ Նյուտոնի երկրորդ օրենքը նշում է, որ մարմնի վրա ազդող ուժը նրա զանգվածի (մ) և արագացման (վեկ{ա}) արտադրյալն է։

\[
F = a
\]

Այս դեպքում և՛ ուժը՝ \(\vec{F}\), և՛ արագացումը՝ \(\vec{a}\) վեկտորներ են։ Սա նշանակում է, որ մարմնի վրա ազդող ուժերի վերլուծությունը պետք է հաշվի առնի այդ ուժերի վեկտորական բնույթը։

Էլեկտրական և մագնիսական դաշտեր

Էլեկտրամագնիսականության ոլորտում էլեկտրական դաշտը \(\vec{E}\) և մագնիսական դաշտը \(\vec{B}\) նույնպես վեկտորներ են։ Տարածության ցանկացած կետում էլեկտրական դաշտի ուժգնությունն ու ուղղությունը որոշվում են էլեկտրական դաշտի \(\vec{E}\) վեկտորով, մինչդեռ մագնիսական դաշտը \(\vec{B}\) նկարագրում է, թե ինչպես է մագնիսական դաշտը ազդում շրջակա տարածության վրա։ Դրանք ազդում են լիցքավորված մասնիկների վրա այնպիսի եղանակներով, որոնք կարելի է կանխատեսել վեկտորներ օգտագործող ֆիզիկայի օրենքներով։

Հեղուկների մեխանիկա

Հեղուկների մեխանիկայում վեկտորներն օգտագործվում են հեղուկի արագությունը և մրրկայնությունը նկարագրելու համար: Հեղուկի արագությունը (v(r), t)) (vec{r}) դիրքում և ժամանակում (t) վեկտոր է: Հեղուկների մեխանիկան շատ բարդ է և հաճախ հենվում է Նավիե-Սթոքսի հավասարումների վրա, որոնք վեկտորային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ են:

Օպտիկա և ալիքներ

Ալիքային ֆիզիկայում, մասնավորապես էլեկտրամագնիսական սխեմաներում, ալիքի տարածումը կարգավորող էլեկտրական և մագնիսական դաշտերը կարող են ներկայացվել որպես վեկտորներ: Լույսի բևեռացման նման երևույթները ներառում են էլեկտրական դաշտի վեկտորային վերլուծություն, քանի որ էլեկտրական դաշտի ուղղվածությունը որոշում է բևեռացումը:

Հարաբերականություն

Հարաբերականության տեսության մեջ վեկտորների հասկացությունը ընդլայնվում է՝ ներառելով «չորս վեկտորների» հասկացությունը, որոնք ընդգրկում են և՛ ժամանակային չափումը, և՛ երեք տարածական չափումները: Չորս վեկտորի օրինակ է «չորս իմպուլսը», որը միավորում է էներգիան և իմպուլսը մեկ վեկտորային ամբողջության մեջ:

Եզրակացություն

Վեկտորները ֆիզիկայի ամենակարևոր հիմնարար մաթեմատիկական հասկացություններից մեկն են։ Դրանք ապահովում են ավելի ինտուիտիվ և ճշգրիտ միջոց բնական երևույթները մոդելավորելու համար, հատկապես, երբ ուղղությունը էական գործոն է։ Կինեմատիկայից մինչև հարաբերականության տեսություն, վեկտորների օգտագործումը հեշտացնում է ֆիզիկական երևույթների լայն շրջանակի հասկանալը, վերլուծելը և կանխատեսելը։ Հետևաբար, վեկտորների հասկացության յուրացումը կարևոր քայլ է ֆիզիկա ուսումնասիրելով հետաքրքրված յուրաքանչյուրի համար։