Իրական թվերի համակարգ
Իրական թվերի համակարգը մաթեմատիկայի ամենահիմնարար հասկացություններից մեկն է, որն օգտագործվում է առօրյա կյանքում հանդիպող գրեթե բոլոր մեծությունները արտահայտելու համար՝ երկարությունից և զանգվածից մինչև ջերմաստիճան, արագություն և ժամանակ: Իրական թվերը մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերի, ինչպիսիք են հանրահաշիվը, երկրաչափությունը, հաշվարկը և վիճակագրությունը, հիմքն են, ինչպես նաև գիտության և ճարտարագիտության հիմնական լեզուն: Իրական թվերի համակարգը հասկանալը նշանակում է հասկանալ, թե ինչպես են թվերը դասակարգվում, ինչպես են դրանք կապված միմյանց հետ և ինչպես են դրանց հատկությունները թույլ տալիս մեզ հետևողականորեն կատարել հաշվարկներ և մոդելներ:
Իրական թվերի հասկացումը
Իրական թվերը թվային առանցքի վրա տեղադրվող բոլոր թվերի բազմությունն են։ Սա ներառում է և՛ ռացիոնալ, և՛ իռացիոնալ թվերը։ Ինտուիտիվորեն, իրական թվերը ներառում են բոլոր այն թվերը, որոնք կարող են արտահայտվել որպես անընդհատ մեծության «արժեք», օրինակ՝ սեղանի երկարությունը կարող է լինել 1 մետր, 1,5 մետր կամ նույնիսկ 1,414213 մետր։
Իրական թվերի բազմությունը սովորաբար նշանակվում է ℝ նշանով։ Յուրաքանչյուր իրական թիվ թվային առանցքի վրա ունի յուրահատուկ դիրք՝ անկախ նրանից, թե այն բացասական է, զրո, թե դրական։
Թվերի դասակարգումը իրական թվերի համակարգում
Իրական թվերի համակարգը գոյություն չունի առանձին։ Այն ավելի պարզ թվային համակարգի ընդլայնումն է։ Այն հասկանալու համար մենք պետք է նայենք այն կազմող թվերի դասակարգմանը։
1. Բնական թվեր
Բնական թվերը սովորաբար նշանակվում են ℕ-ով։ Այս թվերն օգտագործվում են առարկաներ հաշվելու համար և սովորաբար ներառում են՝
1, 2, 3, 4, 5,…
Որոշ սահմանումներում 0-ն նույնպես ներառված է բնական թվերի մեջ, սակայն կրթական պրակտիկայում հաճախ տարբերակում են դնում ամբողջ թվերի և բնական թվերի միջև։
2. Ամբողջ թվեր
Ամբողջ թվերը ներառում են բնական թվերը գումարած զրո։
0, 1, 2, 3, 4,…
Ամբողջ թվերը օգտակար են, երբ հաշվարկի համատեքստում անհրաժեշտ է արտահայտել «ոչինչ» (զրո):
3. Ամբողջ թվեր
Ամբողջ թվերը նշանակվում են ℤ-ով և ներառում են ամբողջ թվերը և դրանց բացասական թվերը՝
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Ամբողջ թվերը կարևոր են «զրոյից ցածր» ուղղություններ կամ արժեքներ պարունակող իրավիճակներ արտահայտելու համար, ինչպիսիք են սառեցումից ցածր ջերմաստիճանը, պարտքը կամ ծովի մակարդակից ցածր բարձրությունը։
4. Ռացիոնալ թվեր
Ռացիոնալ թվերը նշանակվում են ℚ-ով։ Այս թիվը կարելի է գրել կոտորակի տեսքով՝
\[
\frac{p}{q}
\]
\(p\) և \(q\) ամբողջ թվերով, և \(q \neq 0\)։
Ռացիոնալ թվերի օրինակներ՝
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– 2-ը կարելի է գրել որպես \(\frac{2}{1}\)
Ռացիոնալ թվերի կարևոր առանձնահատկությունն այն է, որ դրանց տասնորդական ձևը ավարտվում է կամ կրկնվում է։ Օրինակ՝
– 0,25 կանգառ
– 0,333… կրկնություններ
5. Իռացիոնալ թվեր
Իռացիոնալ թվերը իրական թվեր են, որոնք չեն կարող արտահայտվել \(\frac{p}{q}\) ձևով, որտեղ \(p\) և \(q\) ամբողջ թվեր են։ Տասնորդական ձևը չի ավարտվում և չի կրկնվում։
Իռացիոնալ թվերի օրինակներ՝
– \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\pi = 3,14159265…\)
– \(e = 2,7182818…\)
Իռացիոնալ թվերը հաճախ հանդիպում են երկրաչափության (օրինակ՝ անկյունագծի քառակուսի արմատը) և մաթեմատիկական վերլուծության մեջ։
6. Իրական թվեր
Իրական թվերը ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի համադրություն են՝
\[
R = Q գավաթ (իռացիոնալ)
\]
Այլ կերպ ասած, թվային առանցքի վրա ներկայացված բոլոր թվերը իրական թվեր են։
Թվային առանցքը և խտության հասկացությունը
Իրական թվերը հասկանալու լավագույն միջոցներից մեկը թվային առանցքի միջոցով է։ Այս գծի վրա յուրաքանչյուր կետ ներկայացնում է իրական թիվ։ Հետաքրքիր է, որ ցանկացած երկու իրական թվերի միջև միշտ կա մեկ այլ իրական թիվ։ Օրինակ՝ 1-ի և 2-ի միջև հավասար է 1,5-ի, 1,5-ի և 2-ի միջև՝ 1,75-ի, և այսպես անվերջ։
Այս հատկությունը հայտնի է որպես խտություն։ Թվային առանցքի վրա և՛ ռացիոնալ, և՛ իռացիոնալ թվերը հավասարապես խիտ են. ցանկացած երկու իրական թվերի միջև կան անվերջ շատ ռացիոնալ թվեր և անվերջ շատ իռացիոնալ թվեր։
Հիմնական գործողություններ իրական թվերի հետ
Իրական թվերը աջակցում են հետևյալ հիմնական մաթեմատիկական գործողություններին.
1. Գումարում՝ \(a + b\)
2. Հանում՝ \(a – b\)
3. Բազմապատկում՝ \(a \xb\)
4. Բաժանում՝ \(a \div b\), \(b \neq 0\) պայմանով։
Այս գործողությունները ունեն կարևոր հատկություններ, ինչպիսիք են՝
– Կոմուտատիվ՝ \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– Ասոցիատիվ : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– Բաշխական՝ \(a(b + c) = ab + ac\)
– Ունի նույնություն՝ 0 գումարման համար, 1 բազմապատկման համար
– Ունի հակադարձ՝ \(-a\) գումարման համար, \(\frac{1}{a}\) բազմապատկման համար (\(a \neq 0\)-ի համար)
Այս հատկությունները իրական թվերը դարձնում են շատ կայուն որպես հաշվարկների համակարգ։
Կարգ և բացարձակ արժեք
Իրական թվերը նույնպես ունեն կարգային կապ։ Մենք կարող ենք համեմատել երկու իրական թվեր հետևյալ նշանով.
– \(<\)-ն ավելի փոքր է - \(>\)-ն ավելի մեծ է
– \(\le\)-ը փոքր է կամ հավասար է
– \(\ge\)-ը մեծ է կամ հավասար է
Բացի այդ, գոյություն ունի բացարձակ արժեքի հասկացություն, որը ցույց է տալիս թվի հեռավորությունը զրոյից՝
\[
|ա| =
\begin{դեպքեր}
a, & \text{եթե } a \ge 0 \\
-a, & \text{if } a < 0 \end{cases} \] Օրինակ՝ \(|-5| = 5\) և \(|3| = 3\).
