Երկու շրջանագծերի դիրքը. երկրաչափական վերլուծություն
Մաթեմատիկայում, մասնավորապես երկրաչափության մեջ, երկու շրջանագծերի դիրքի հասկացումը կարևոր դեր է խաղում: Շրջանակները հիմնական երկրաչափական ձևերից են, որոնք հաճախ հանդիպում են թե՛ տեսության, թե՛ գործնական կիրառություններում: Երկու շրջանագծերի դիրքը հնարավորություն է տալիս պատկերացում կազմել այս երկու ձևերի փոխազդեցության մասին, երբ դրանք տեղադրվում են հարթության մեջ: Այս ուսումնասիրությունը ներառում է տարբեր հնարավոր փոխազդեցությունների վերլուծություն, որոնք կարող են տեղի ունենալ՝ սկսած չհատումից մինչև հատում: Այս հոդվածը համապարփակ կերպով կանդրադառնա երկու շրջանագծերի դիրքին և տարբեր դրանց հետ կապված ասպեկտներին:
Սահմանումներ և նշումներ
Նախ, եկեք պաշտոնապես սահմանենք երկու շրջանագիծ կարտեզյան հարթության մեջ։ \(C_1\) շրջանագիծը՝ \(P_1(x_1, y_1)\) կենտրոնով և \(r_1\) շառավղով, կարելի է արտահայտել հետևյալ հավասարմամբ՝
\[
C_1 : (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r_1^2
\]
Նմանապես, \(C_2\) շրջանագիծը՝ \(P_2(x_2, y_2)\) կենտրոնով և \(r_2\) շառավղով, ներկայացված է հետևյալ կերպ.
\[
C_2 : (x – x_2)^2 + (y – y_2)^2 = r_2^2
\]
Այս երկու շրջանագծերի դիրքը կախված է նրանց կենտրոնների միջև եղած հեռավորությունից (\(d\)) և նրանց շառավղերի երկարությունից։ Երկու շրջանագծերի \(P_1\) և \(P_2\) կենտրոնների \(d\) հեռավորությունը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.
\[
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
Երկու շրջանի դիրքի կատեգորիա
Ընդհանուր առմամբ, կան հինգ դիրքեր, որոնք կարող են ունենալ երկու շրջանակները.
1. Համընկնում (երկու շրջանակների համընկնում)
2. Չհատվող (փոխադարձաբար բացառող)
3. Արտաքին շոշափող
4. Ներքին հպում (ներքին շոշափում)
5. Հատվող
Այս կատեգորիաներից յուրաքանչյուրն ունի իր երկրաչափական պայմանները, որոնք մենք մանրամասն կքննարկենք ստորև։
1. Համընկնում (երկու շրջանակների համընկնում)
Երկու շրջանագծերը համարվում են համընկնող կամ համընկնող, եթե դրանք ունեն նույն կենտրոնը և նույն շառավիղը։ Մաթեմատիկորեն սա նշանակում է.
\[
P_1 \համարժեք P_2 \քառակուսի \տեքստ{և} \քառակուսի r_1 = r_2
\]
Այս դեպքում՝ \(d = 0\): Երկու շրջանագծերը նույնական են, և մեկ շրջանագծի յուրաքանչյուր կետ մյուս շրջանագծի վրա կետ է։
2. Չհատվող (փոխադարձաբար բացառող)
Երկու շրջանագծերը կոչվում են չհատվող երկու պայմանի դեպքում՝
– Առաջին պայման. Երբ երկու շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը (d) մեծ է նրանց շառավղների երկարությունների գումարից՝
\[
դ > r_1 + r_2
\]
– Երկրորդ պայմանը. Երբ մեկ շրջանակը գտնվում է մեկ այլ շրջանակի մեջ՝ առանց որևէ կերպ դիպչելու։ Սա տեղի է ունենում, եթե՝
\[
d < |r_1 - r_2| \] Երկու դեպքում էլ \(C_1\) և \(C_2\) շրջանագծերի միջև ընդհանուր կետ չկա։ 3. Արտաքին շոշափող Երկու շրջանագծեր արտաքին շոշափող են, եթե դրանք հպվում են որևէ կետում և գտնվում են միմյանցից դուրս։ Սա տեղի է ունենում, եթե երկու շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը հավասար է նրանց շառավղների գումարին։
