Ֆունկցիաներ և ոչ ֆունկցիաներ

Ֆունկցիաներ և ոչ ֆունկցիաներ. մաթեմատիկայի հասկացությունների ըմբռնում

Մաթեմատիկայում մենք հաճախ հանդիպում ենք վերացական հասկացությունների, որոնք պահանջում են խորը ըմբռնում: Այդպիսի հիմնարար, բայց կարևոր հասկացություններից մեկը «ֆունկցիան» է: Այս հասկացությունը ոչ միայն գերիշխող է մաթեմատիկայում, այլև հանդիպում է տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են ֆիզիկան, համակարգչային գիտությունը և տնտեսագիտությունը: Այնուամենայնիվ, հաճախ շփոթություն է առաջանում ֆունկցիաները ոչ ֆունկցիաներից տարբերակելիս: Այս հոդվածում մանրամասն կքննարկվի, թե ինչ է ֆունկցիան, դրա բնութագրերը և ինչպես այն տարբերակել ոչ ֆունկցիաներից:

Ի՞նչ է ֆունկցիան։

Պարզ ասած, ֆունկցիան մի կապ է, որը մեկ բազմության յուրաքանչյուր տարրը կապում է մեկ այլ բազմության ճիշտ մեկ տարրի հետ։ Եկեք նայենք դրա ֆորմալ սահմանմանը.

Ֆունկցիայի ֆորմալ սահմանումը.
f ֆունկցիան A բազմությունից B բազմություն կանոն է, որը A բազմության յուրաքանչյուր տարրը կապում է B բազմության ճիշտ մեկ տարրի հետ։ Այն գրվում է որպես \(f : A \rightarrow B \)։

Այլ կերպ ասած, եթե A բազմությունում ունենք երկու տարբեր տարրեր, դրանք չպետք է կապված լինեն B բազմության նույն տարրի հետ։

Ֆունկցիայի պարզ օրինակ է մարդու մարմնի ջերմաստիճանը (տիրույթ/բազմություն A) և դրա չափումը Ցելսիուսի աստիճաններով (տիրույթ/բազմություն B): Յուրաքանչյուր անձ կապված է մարմնի ջերմաստիճանի մեկ արժեքի հետ: Այսպիսով, այս անալոգիայում ֆունկցիան կապում է անհատներին (տիրույթի տարրերը) մարմնի ջերմաստիճանի արժեքների հետ (կոտիրույթի տարրեր):

Ֆունկցիոնալ բնութագրեր

Այս հասկացությունը հասկանալիս կան մի քանի հատուկ բնութագրեր, որոնք հարաբերությունը պետք է բավարարի՝ ֆունկցիա համարվելու համար.

1. Բազմությունների միջև հարաբերություններ.
Ֆունկցիան պետք է տիրույթի (աղբյուրի բազմության) յուրաքանչյուր տարրը կապակցի կոդոմենի (նպատակային բազմության) ճիշտ մեկ տարրի հետ։ Եթե տիրույթի որևէ տարր կապված է կոդոմենի մեկից ավելի տարրերի հետ, ապա այն ֆունկցիա չէ։

2. Եզակիություն։
Դոմենի մեկ տարրը կարող է կապված լինել կոդոմենում միայն մեկ արժեքի հետ։ Օրինակ, եթե f(a) = 3 և f(a) = 5 միաժամանակ, ապա f-ը ֆունկցիա չէ։

3. Դոմեյնը դատարկ չէ։
Ֆունկցիայում տիրույթի յուրաքանչյուր տարր պետք է ունենա համարժեք կոդոմենում, ինչը նշանակում է, որ տիրույթը չի կարող դատարկ լինել։

Ֆունկցիա չէ

Վերը նշված երեք բնութագրերին չհամապատասխանող հարաբերությունը կոչվում է ոչ ֆունկցիա։ Սա ավելի լավ հասկանալու համար եկեք քննենք մի քանի կոնկրետ օրինակներ։

1. Դոմեյնի մեկ տարրը կապված է կոդոմենի մեկից ավելի տարրերի հետ։
Օրինակ, պատկերացրեք, որ մենք ունենք մի հարաբերություն, որտեղ ուսանողները (տիրույթ) կապված են իրենց քննության միավորների հետ (կոտիրույթ): Եթե ուսանողը կարող է մեկ քննության ժամանակ ստանալ մեկից ավելի միավոր (օրինակ՝ նույն քննության ժամանակ՝ 75 և 90), այս հարաբերությունը ֆունկցիա չէ:

2. Ոչ բոլոր տիրույթի տարրերն ունեն զույգ։
Ինչպես նշվեց, ֆունկցիայում տիրույթի բոլոր տարրերը պետք է ունենան համարժեք կոդոմենում։ Եթե որևէ տարր համարժեք չունի, ապա այդ կապը ֆունկցիա չէ։

Ինչո՞ւ է կարևոր հասկանալ ֆունկցիան։

Այս ֆունկցիաների խորը ըմբռնումը կարևոր է ոչ միայն մաքուր մաթեմատիկայում, այլև տարբեր այլ ոլորտներում կիրառություններում։

1. Համակարգչային գիտություն:
Ֆունկցիաները ծրագրավորման հիմքն են, գործիքներ, որոնք մենք օգտագործում ենք կառուցվածքային ալգորիթմներ կառուցելու համար: Ֆունկցիաների իրականացումը թույլ է տալիս մեզ գրել ավելի մոդուլային և ավելի հեշտ հասկանալի կոդ:

2. Ֆիզիկա:
Բազմաթիվ բնական հաստատուններ և ֆիզիկական օրենքներ արտահայտվում են ֆունկցիաներով։ Օրինակ՝ Նյուտոնի սառեցման օրենքը կարող է արտահայտվել որպես ջերմաստիճանի և ժամանակի կախվածության ֆունկցիա։

3. Տնտեսություն:
Ֆունկցիաները տնտեսական մոդելներում օգտագործվում են տարբեր փոփոխականների, ինչպիսիք են եկամուտը և սպառումը, միջև կապը կանխատեսելու համար։

Ֆունկցիայի ներկայացում

Ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված կարիքներից և համատեքստից։

1. Աղյուսակ:
Ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել աղյուսակներով, որոնք ցույց են տալիս տիրույթի և կոդոմենի տարրերի զույգերը: Օրինակ՝ աղյուսակ, որը ցույց է տալիս օրական ջերմաստիճանը (տիրույթ) և վաճառված պաղպաղակի կոների քանակը (կոտիրույթ):

2. Գրաֆիկ:
Ֆունկցիաների գրաֆիկները ֆունկցիաները ներկայացնելու ամենաարդյունավետ միջոցներից մեկն են։ Գրաֆի վրա տիրույթը հաճախ նշանակվում է x առանցքով, իսկ կոդոմենը՝ y առանցքով։ Ֆունկցիան այն գրաֆիկն է, որը հաջողությամբ անցնում է ուղղահայաց գծի թեստը, այսինքն՝ յուրաքանչյուր ուղղահայաց գիծ հատում է գրաֆիկը ճիշտ մեկ կետում։

3. Հավասարում.
Ֆունկցիայի հանրահաշվական ձևը մաթեմատիկայում ֆունկցիան արտահայտելու ամենատարածված ձևն է։ Օրինակ՝ գծային ֆունկցիան (f(x) = mx + c) կամ քառակուսային ֆունկցիան (f(x) = ax^2 + bx + c)։

Ֆունկցիաների և ոչ ֆունկցիաների օրինակներ

Եկեք դիտարկենք մի քանի օրինակներ՝ ֆունկցիաների մասին մեր պատկերացումները բյուրեղացնելու համար։

Օրինակ 1:
– Ֆունկցիա։ Մենք ունենք A = {1, 2, 3} բազմություն և B = {4, 5, 6} բազմություն։ \(f \) ֆունկցիան սահմանում է, որ \(f(1) = 4 \), \(f(2) = 5 \), և \(f(3) = 6 \).
– Ֆունկցիա չէ. Եթե \(f \)-ն սահմանում է, որ \(f(1) = 4 \) և \(f(1) = 5 \), ապա այս հարաբերությունը ակնհայտորեն ֆունկցիա չէ, քանի որ տիրույթի մեկ տարրը կապված է կոդոմենի մեկից ավելի տարրերի հետ։

Օրինակ 2:
– Գործառույթ. Ուսանողը (ոլորտ) կապված է իր թեստի միավորի հետ (կոդոմեն):
– Ֆունկցիա չէ. Նույն ուսանողը չի կարող մեկ քննության ժամանակ ունենալ երկու տարբեր միավոր։ Եթե կա երկու միավոր, ապա առնչությունը ֆունկցիա չէ։

Եզրակացություն

Վերոնշյալ բացատրությունից դատելով՝ կարող ենք տեսնել, որ ֆունկցիան մաթեմատիկայի հիմնարար հասկացություն է, որը բազմաթիվ կիրառություններ ունի տարբեր առարկաներում: Ֆունկցիան տիրույթային բազմության յուրաքանչյուր տարրը կապում է կոդոմենային բազմության ճիշտ մեկ տարրի հետ: Եթե ​​ռելյացիան չի բավարարում այս բնութագրերը, ապա այն ֆունկցիա չէ: Ֆունկցիայի և ոչ ֆունկցիայի միջև եղած տարբերությունը հասկանալը ամուր հիմք է հանդիսանում հետագա մաթեմատիկական ուսումնասիրությունների և առօրյա կյանքում գործնական կիրառությունների համար: