Սյունակային վեկտորների և տողերի վեկտորների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Սյունակային վեկտորների և տողերի վեկտորների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Մաթեմատիկայում, մասնավորապես գծային հանրահաշվում, վեկտորները հիմնարար հասկացություն են, որը հաճախ օգտագործվում է տարբեր կիրառություններում՝ ֆիզիկայի մոդելավորումից մինչև հաշվարկներ: Սյունակային վեկտորները և տողային վեկտորները վեկտորային ներկայացման երկու ձև են, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր առանձնահատկությունները և կիրառությունները: Այս հոդվածում կքննարկվեն սյունակային վեկտորների և տողային վեկտորների հետ կապված օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումները:

Սյունակային վեկտորի և տողային վեկտորի սահմանումը

Մինչև օրինակելի հարցերի և դրանց քննարկմանը անդրադառնալը, եկեք նախ վերանայենք սյունակային վեկտորների և տողային վեկտորների հիմնական սահմանումները։

– Սյունակային վեկտորները վեկտորներ են, որոնք դասավորված են սյունակում, այսինքն՝ մեկ ուղղահայաց չափումով։ Օրինակ՝
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]

– Շարքային վեկտորները վեկտորներ են, որոնք դասավորված են շարքերով, այսինքն՝ մեկ հորիզոնական չափման մեջ։ Օրինակ՝
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]

Օրինակ 1. Սյունակային վեկտորների ավելացում

Հարց՝
Տրված են հետևյալ երկու սյունակային վեկտորները՝
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Հաշվարկեք երկու սյունակային վեկտորների գումարը։

Լուծում.
Երկու սյունակային վեկտորների գումարումը կատարվում է դրանց համապատասխան տարրերը գումարելով։
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \սկիզբ{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Այսպիսով, \(\mathbf{u}\) և \(\mathbf{v}\) թվերի գումարը \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) է։

Օրինակ՝ հարց 2. Շարքային վեկտորների գումարում

Հարց՝
Տրված են հետևյալ երկու տողային վեկտորները՝
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Հաշվարկեք երկու տողային վեկտորների գումարը։

Լուծում.
Երկու տողային վեկտորների գումարումը կատարվում է համապատասխան տարրերի գումարմամբ։
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Այսպիսով, \(\mathbf{a}\) և \(\mathbf{b}\) թվերի գումարը \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) է։

Օրինակ 3. Սկալյար բազմապատկում սյունակային վեկտորներով

Հարց՝
Տրված են սյունակային վեկտոր \(\mathbf{c}\) և սկալյար \(k\)՝
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{p մատրից}, \quad k = 2
\]
Հաշվարկեք սկալյար բազմապատկման արդյունքը։

Լուծում.
Սկալյար բազմապատկումը սյունակային վեկտորով կատարվում է վեկտորի յուրաքանչյուր տարրը սկալյարով բազմապատկելով։
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 անգամ -3
2 անգամ 4
2 անգամ 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Այսպիսով, սկալյարը \(2\) սյունակային վեկտորով \(\mathbf{c}\) բազմապատկելու արդյունքը \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) է։

Օրինակ՝ հարց 4. Սկալյար բազմապատկում տողային վեկտորներով

Հարց՝
Տրված են տողային վեկտոր \(\mathbf{d}\) և սկալյար \(m\)՝
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Հաշվարկեք սկալյար բազմապատկման արդյունքը։

Լուծում.
Սկալյար բազմապատկումը տողային վեկտորով կատարվում է վեկտորի յուրաքանչյուր տարրը սկալյարով բազմապատկելով։
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Այսպիսով, սկալյար \(-3\)-ը տողային վեկտորով \(\mathbf{d}\) բազմապատկելու արդյունքը \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) է։

Օրինակ 5. Մատրիցի բազմապատկումը \(1 \times 3\) \(3 \times 1\)-ով (տողի վեկտորը սյունակի վեկտորով)

Հարց՝
Տրվում է տողի վեկտոր \(\mathbf{e}\) և սյունակի վեկտոր \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \սկիզբ{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Հաշվեք երկու վեկտորների արտադրյալը։

Լուծում.
Մատրիցային բազմապատկում կատարելու համար տողային վեկտորը՝ \(\mathbf{e}\)-ը, դիտարկվում է որպես \(1 \times 3\) մատրից, իսկ սյունային վեկտորը՝ \(\mathbf{f}\)-ը՝ որպես \(3 \times 1\) մատրից։ Այս բազմապատկման արդյունքը սկալյար է, այսինքն՝ համապատասխան տարրերի արտադրյալների գումարը՝
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{p մատրից} = (2 x 5) + (-1 x 3) + (4 x -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Այսպիսով, տողի վեկտորը \(\mathbf{e}\) սյունակի վեկտորով \(\mathbf{f}\) բազմապատկելու արդյունքը \(-1\) է։

Օրինակ 6. Մատրիցի բազմապատկումը \(3 \times 1\) \(1 \times 3\)-ով (Սյունակային վեկտորը տողային վեկտորով)

Հարց՝
Տրված են սյունակային վեկտոր (g) և տողային վեկտոր (h):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Հաշվեք երկու վեկտորների արտադրյալը։

Լուծում.
Սյունակային վեկտորի մատրիցային բազմապատկումը տողային վեկտորով առաջացնում է (\(3 անգամ 1\)) մատրից բազմապատկած (\(1 անգամ 3\))-ով, որը առաջացնում է \(3 անգամ 3\) մատրից։ Յուրաքանչյուր նոր տարր համապատասխան տարրերի արտադրյալն է։
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 և 5 և 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 անգամ 4 և 1 անգամ 5 և 1 անգամ 6
2 անգամ 4 և 2 անգամ 5 և 2 անգամ 6
3 անգամ 4 և 3 անգամ 5 և 3 անգամ 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 և 5 և 6 \\
8 և 10 և 12 \\
12 և 15 և 18
\end{pmatrix}
\]
Այսպիսով, սյունակային վեկտորը (g) տողային վեկտորով (h) բազմապատկելու արդյունքը հետևյալ մատրիցն է՝
\[
\begin{pmatrix}
4 և 5 և 6 \\
8 և 10 և 12 \\
12 և 15 և 18
\end{pmatrix}
\]

Եզրակացություն

Այս հոդվածի ընթացքում մենք տեսանք սյունակային և տողային վեկտորների վերաբերյալ մի քանի օրինակներ: Սյունակային և տողային վեկտորների գումարումը կատարվում է դրանց համապատասխան տարրերը գումարելով: Սկալյար բազմապատկումը վեկտորով նույնպես իրականացվում է վեկտորի յուրաքանչյուր տարրը սկալյարով բազմապատկելով: Վերջապես, մենք սովորեցինք, թե ինչպես բազմապատկել տողային և սյունակային վեկտորները՝ ստանալով կամ սկալյար, կամ մատրից՝ կախված դրանց հերթականությունից: Այս հիմնական գործողությունների տիրապետումը կարևոր է գծային հանրահաշվի և տվյալների վերլուծության ավելի բարդ կիրառությունների համար: